Решение задачи 134: Движение человека по платформе

Задача №134 Дано: \(M = 280\) кг — масса платформы \(m = 80\) кг — масса человека \(\alpha = 2\pi\) — угол перемещения человека относительно платформы (полный круг) Найти: \(\phi\) — угол поворота платформы относительно земли. Решение: Система «платформа — человек» является замкнутой относительно вертикальной оси, проходящей через центр диска. Согласно закону сохранения момента импульса, суммарный момент импульса системы до начала движения и во время движения равен нулю: \[L_{пл} + L_{чел} = 0\] Выразим моменты импульса через моменты инерции и угловые скорости относительно земли. Пусть \(\omega_{пл}\) — угловая скорость платформы, а \(\omega_{чел}\) — угловая скорость человека относительно земли. Тогда: \[I_{пл} \omega_{пл} + I_{чел} \omega_{чел} = 0\] Момент инерции платформы (диска): \[I_{пл} = \frac{1}{2} M R^2\] Момент инерции человека (как материальной точки на краю): \[I_{чел} = m R^2\] Угловая скорость человека относительно земли \(\omega_{чел}\) связана с его угловой скоростью относительно платформы \(\omega_{отн}\) и скоростью самой платформы \(\omega_{пл}\) соотношением: \[\omega_{чел} = \omega_{отн} + \omega_{пл}\] Подставим выражения в закон сохранения: \[\frac{1}{2} M R^2 \omega_{пл} + m R^2 (\omega_{отн} + \omega_{пл}) = 0\] Сократим на \(R^2\): \[\frac{1}{2} M \omega_{пл} + m \omega_{отн} + m \omega_{пл} = 0\] \[\omega_{пл} (\frac{1}{2} M + m) = -m \omega_{отн}\] Так как угловая скорость — это производная угла по времени (\(\omega = d\phi/dt\)), мы можем перейти от угловых скоростей к углам поворота: \[\phi (\frac{1}{2} M + m) = -m \alpha\] Знак «минус» указывает на то, что платформа вращается в сторону, противоположную движению человека. Нас интересует модуль угла: \[\phi = \frac{m \alpha}{\frac{1}{2} M + m}\] Подставим числовые значения: \[\phi = \frac{80 \cdot 2\pi}{\frac{1}{2} \cdot 280 + 80} = \frac{160\pi}{140 + 80} = \frac{160\pi}{220} = \frac{8}{11} \pi\] Переведем в градусы: \[\phi = \frac{8}{11} \cdot 180^\circ \approx 130,9^\circ\] Ответ: платформа повернется на угол \(\frac{8}{11} \pi\) рад (или примерно \(131^\circ\)).