Решение задачи: Доказательство подобия треугольников

Вариант 2 Задача 1 Дано: \[ \triangle ABC, \angle A = 50^{\circ}, \angle C = 60^{\circ} \] \[ \triangle A_1B_1C_1, \angle C_1 = 60^{\circ}, \angle B_1 = 70^{\circ} \] Доказать: \[ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \] Доказательство: 1. Найдем третий угол в \( \triangle ABC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \). \[ \angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \] 2. Сравним углы треугольников \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \): \[ \angle C = \angle C_1 = 60^{\circ} \] \[ \angle B = \angle B_1 = 70^{\circ} \] 3. Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны по первому признаку подобия. \[ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \] Что и требовалось доказать. Задача 2 Дано: \[ AB \cap CD = O \] \[ AO = 12 \text{ см}, BO = 4 \text{ см}, CO = 30 \text{ см}, DO = 10 \text{ см} \] \[ \angle DBO = 61^{\circ} \] Найти: \[ \angle CAO, \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} \] Решение: 1. Рассмотрим треугольники \( AOC \) и \( BOD \). Углы \( AOC \) и \( BOD \) равны как вертикальные: \[ \angle AOC = \angle BOD \] 2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этим углам: \[ \frac{AO}{BO} = \frac{12}{4} = 3 \] \[ \frac{CO}{DO} = \frac{30}{10} = 3 \] Следовательно, \( \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \). 3. Треугольники \( AOC \) и \( BOD \) подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними). Из подобия следует равенство соответствующих углов: \[ \angle CAO = \angle DBO = 61^{\circ} \] 4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия \( k \). Коэффициент подобия \( k = \frac{AO}{BO} = 3 \). \[ \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = 3^2 = 9 \] Ответ: \( \angle CAO = 61^{\circ} \); отношение площадей равно 9.