Решение задач на нахождение производной функции. Вариант 3

Вариант 3 Найдите производные функций: 1. \( y = 2x^5 - 4x^3 + 7x - 10 \) Решение: Используем правило дифференцирования суммы и степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \). \[ y' = (2x^5)' - (4x^3)' + (7x)' - (10)' \] \[ y' = 2 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 - 0 \] \[ y' = 10x^4 - 12x^2 + 7 \] 2. \( y = (3x - 4)(x^2 + 2x) \) Решение: Используем формулу производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \). Пусть \( u = 3x - 4 \), тогда \( u' = 3 \). Пусть \( v = x^2 + 2x \), тогда \( v' = 2x + 2 \). \[ y' = 3(x^2 + 2x) + (3x - 4)(2x + 2) \] \[ y' = 3x^2 + 6x + 6x^2 + 6x - 8x - 8 \] \[ y' = 9x^2 + 4x - 8 \] 3. \( y = \frac{2x + 3}{4x - 1} \) Решение: Используем формулу производной частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). \[ y' = \frac{(2x + 3)'(4x - 1) - (2x + 3)(4x - 1)'}{(4x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2(4x - 1) - (2x + 3) \cdot 4}{(4x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{8x - 2 - 8x - 12}{(4x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-14}{(4x - 1)^2} \] 4. \( y = \sqrt{x} - \frac{3}{x^2} \) Решение: Представим функцию в виде степеней: \( y = x^{1/2} - 3x^{-2} \). \[ y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 3 \cdot (-2)x^{-3} \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{6}{x^3} \] 5. \( y = \sin x + 3 \cos x \) Решение: Используем табличные производные \( (\sin x)' = \cos x \) и \( (\cos x)' = -\sin x \). \[ y' = \cos x + 3(-\sin x) \] \[ y' = \cos x - 3\sin x \] 6. \( y = e^x \cdot (5x + 1) \) Решение: Используем формулу производной произведения. \[ y' = (e^x)'(5x + 1) + e^x(5x + 1)' \] \[ y' = e^x(5x + 1) + e^x \cdot 5 \] \[ y' = e^x(5x + 1 + 5) \] \[ y' = e^x(5x + 6) \] 7. \( y = \ln x + \frac{1}{x} \) Решение: Используем производные \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \) и \( (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2} \). \[ y' = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \] 8. \( y = \frac{6x^4 + 9x^2}{3x} \) Решение: Сначала упростим выражение, разделив почленно. \[ y = \frac{6x^4}{3x} + \frac{9x^2}{3x} = 2x^3 + 3x \] Теперь найдем производную: \[ y' = (2x^3)' + (3x)' \] \[ y' = 6x^2 + 3 \] 9. \( y = \text{tg } x \) Решение: Это табличная производная. \[ y' = \frac{1}{\cos^2 x} \] 10. \( y = \frac{x}{e^x} \) Решение: Используем формулу производной частного. \[ y' = \frac{(x)'e^x - x(e^x)'}{(e^x)^2} \] \[ y' = \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{e^{2x}} \] \[ y' = \frac{e^x(1 - x)}{e^{2x}} \] \[ y' = \frac{1 - x}{e^x} \]