Решение задачи: Доказать подобие треугольников ABC и A1B1C1

Вариант 1 Задача 1 Дано: \[ \triangle ABC, \angle B = 90^{\circ}, AB = 3, BC = 4 \] \[ \triangle A_1B_1C_1, \angle B_1 = 90^{\circ}, A_1B_1 = 6, A_1C_1 = 10 \] Доказать: \[ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \] Доказательство: 1. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) найдем гипотенузу \( AC \) по теореме Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] 2. В прямоугольном треугольнике \( A_1B_1C_1 \) найдем катет \( B_1C_1 \) по теореме Пифагора: \[ B_1C_1 = \sqrt{A_1C_1^2 - A_1B_1^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \] 3. Проверим пропорциональность соответствующих катетов: \[ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{6}{3} = 2 \] \[ \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{8}{4} = 2 \] 4. Так как \( \angle B = \angle B_1 = 90^{\circ} \) и катеты треугольников пропорциональны, то треугольники подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). \[ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \] Что и требовалось доказать. Задача 2 Дано: \[ ABCD \text{ — трапеция } (BC \parallel AD) \] \[ AB \cap CD = O \] \[ AD = 5 \text{ см}, BC = 2 \text{ см}, AO = 25 \text{ см} \] Найти: \[ BO, \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} \] Решение: 1. Рассмотрим треугольники \( BOC \) и \( AOD \). Угол \( O \) — общий. \[ \angle OBC = \angle OAD \] как соответственные углы при параллельных прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AO \). Следовательно, \( \triangle BOC \sim \triangle AOD \) по двум углам (первый признак). 2. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{BC}{AD} = \frac{BO}{AO} \] Подставим известные значения: \[ \frac{2}{5} = \frac{BO}{25} \] \[ BO = \frac{2 \cdot 25}{5} = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см} \] 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия \( k \). Коэффициент подобия \( k = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{5} = 0,4 \). \[ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} = 0,16 \] Ответ: \( BO = 10 \text{ см} \); отношение площадей равно 0,16 (или \( \frac{4}{25} \)).