Решение задачи по геометрии: AB перпендикулярна плоскости

Вариант 1 Задача 1. Дано: \(AB \perp \alpha\), \(M \in \alpha\), \(K \in \alpha\). Доказать: \(AB \perp MK\). Доказательство: По определению прямой, перпендикулярной к плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как точки \(M\) и \(K\) лежат в плоскости \(\alpha\), то прямая \(MK\) также лежит в плоскости \(\alpha\). Следовательно, так как \(AB \perp \alpha\), то \(AB \perp MK\). Что и требовалось доказать. Задача 2. Дано: \(\triangle ABC\) — правильный, \(O\) — его центр, \(OM \perp (ABC)\). а) Доказать: \(MA = MB = MC\). б) Найти \(MA\), если \(AB = 6\) см, \(MO = 2\) см. Решение: а) Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle MOA\), \(\triangle MOB\) и \(\triangle MOC\). У них катет \(MO\) — общий. Так как \(O\) — центр правильного треугольника \(ABC\), то \(OA = OB = OC\) (радиусы описанной окружности). Следовательно, \(\triangle MOA = \triangle MOB = \triangle MOC\) по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны: \(MA = MB = MC\). Что и требовалось доказать. б) Найдем \(MA\). 1. В правильном треугольнике радиус описанной окружности \(R = OA\) вычисляется по формуле: \[OA = \frac{AB}{\sqrt{3}}\] Подставим значения: \[OA = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см.}\] 2. Из прямоугольного \(\triangle MOA\) (где \(\angle MOA = 90^\circ\)) по теореме Пифагора: \[MA = \sqrt{MO^2 + OA^2}\] \[MA = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \text{ см.}\] Ответ: \(MA = 4\) см. Задача 3. Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(A_1A \parallel B_1B\), \(A_1A \perp AB\), \(A_1A \perp AD\). Найти \(B_1B\), если \(B_1D = 25\) см, \(AB = 12\) см, \(AD = 16\) см. Решение: 1. Так как \(A_1A \perp AB\) и \(A_1A \perp AD\), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(A_1A \perp (ABC)\). 2. Так как \(A_1A \parallel B_1B\) и \(A_1A \perp (ABC)\), то \(B_1B \perp (ABC)\). Следовательно, \(B_1B \perp BD\), и \(\triangle B_1BD\) — прямоугольный (\(\angle B_1BD = 90^\circ\)). 3. Из прямоугольного \(\triangle ABD\) по теореме Пифагора найдем диагональ \(BD\): \[BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см.}\] 4. Из прямоугольного \(\triangle B_1BD\) по теореме Пифагора найдем \(B_1B\): \[B_1B = \sqrt{B_1D^2 - BD^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15 \text{ см.}\] Ответ: \(B_1B = 15\) см.