Решение задач Вариант 4

Ниже представлены решения задач из Варианта 4, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: \( \triangle ABC \) вписан в окружность с центром \( O \), \( \angle AOB = 27^\circ \). Найти: \( \angle C \). Решение: Угол \( \angle AOB \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( AB \). Угол \( \angle ACB \) (или просто \( \angle C \)) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу. По теореме о вписанном угле: \[ \angle C = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{27^\circ}{2} = 13,5^\circ \] Ответ: \( 13,5^\circ \). Задача 2. Дано: \( \angle AOB = 18^\circ \), длина меньшей дуги \( AB = 5 \). Найти: длину большей дуги. Решение: Полная окружность составляет \( 360^\circ \). Градусная мера большей дуги равна: \[ 360^\circ - 18^\circ = 342^\circ \] Длина дуги пропорциональна её градусной мере. Составим пропорцию: \[ \frac{18^\circ}{5} = \frac{342^\circ}{x} \] \[ x = \frac{5 \cdot 342}{18} = 5 \cdot 19 = 95 \] Ответ: 95. Задача 3. Дано: \( S_{круга} = 69 \), центральный угол сектора \( \alpha = 120^\circ \). Найти: \( S_{сектора} \). Решение: Площадь сектора вычисляется по формуле: \[ S_{сект} = S_{круга} \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \] \[ S_{сект} = 69 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} = 69 \cdot \frac{1}{3} = 23 \] Ответ: 23. Задача 4. Дано: \( \angle C = 62^\circ \), \( CA \) и \( CB \) — касательные. Найти: \( \angle AOB \). Решение: Радиусы \( OA \) и \( OB \), проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным (\( \angle OAC = \angle OBC = 90^\circ \)). В четырехугольнике \( AOBC \) сумма углов равна \( 360^\circ \): \[ \angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 62^\circ = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ \] Ответ: \( 118^\circ \). Задача 5. Дано: \( \angle OAB = 60^\circ \), \( R = 7 \). Найти: \( AB \). Решение: В \( \triangle AOB \) стороны \( OA = OB = R = 7 \), значит треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle OBA = \angle OAB = 60^\circ \). Тогда \( \angle AOB = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ \). Так как все углы треугольника равны \( 60^\circ \), \( \triangle AOB \) — равносторонний. Следовательно, \( AB = OA = 7 \). Ответ: 7. Задача 6. Дано: \( \angle ABC = 47^\circ \), \( \angle OAB = 38^\circ \). Найти: \( \angle BCO \). Решение: 1) Проведем радиусы \( OA, OB, OC \). Треугольники \( \triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OAC \) — равнобедренные. 2) В \( \triangle OAB \): \( \angle OBA = \angle OAB = 38^\circ \). 3) Тогда \( \angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 47^\circ - 38^\circ = 9^\circ \). 4) В \( \triangle OBC \): \( \angle BCO = \angle OBC = 9^\circ \). Ответ: \( 9^\circ \). Задача 7. Дано: \( AC, BD \) — диаметры, \( \angle ACB = 36^\circ \). Найти: \( \angle AOD \). Решение: 1) \( \angle ACB \) — вписанный, опирается на дугу \( AB \). Значит, дуга \( AB = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ \). 2) Центральный угол \( \angle AOB \) опирается на ту же дугу, значит \( \angle AOB = 72^\circ \). 3) Углы \( \angle AOB \) и \( \angle AOD \) — смежные, их сумма \( 180^\circ \). \[ \angle AOD = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \] Ответ: \( 108^\circ \). Задача 8. Дано: центр \( O \) лежит на \( AB \), \( \angle BAC = 9^\circ \). Найти: \( \angle ABC \). Решение: Так как сторона \( AB \) проходит через центр, она является диаметром. Вписанный угол \( \angle ACB \), опирающийся на диаметр, равен \( 90^\circ \). В прямоугольном \( \triangle ABC \): \[ \angle ABC = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 9^\circ = 81^\circ \] Ответ: \( 81^\circ \).