Решение задач из Варианта 3

Ниже представлены решения задач из Варианта 3, оформленные для записи в школьную тетрадь. Задача 1. Дано: \( \angle AOD = 110^\circ \). Найти: \( \angle ACB \). Решение: Углы \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) являются вертикальными, поэтому \( \angle BOC = \angle AOD = 110^\circ \). Угол \( \angle BOC \) — центральный, опирающийся на дугу \( AB \). Угол \( \angle ACB \) — вписанный, опирающийся на ту же дугу. По теореме о вписанном угле: \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ \] Ответ: \( 55^\circ \). Задача 2. Дано: \( \angle C = 90^\circ \), \( CA \) и \( CB \) — касательные. Найти: \( \angle AOB \). Решение: Радиусы \( OA \) и \( OB \) перпендикулярны касательным в точках касания (\( \angle OAC = \angle OBC = 90^\circ \)). В четырехугольнике \( AOBC \) сумма углов равна \( 360^\circ \): \[ \angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ \] Ответ: \( 90^\circ \). Задача 3. Дано: \( S_{круга} = 112 \), \( \alpha = 45^\circ \). Найти: \( S_{сект} \). Решение: Площадь сектора вычисляется по формуле: \[ S_{сект} = S_{круга} \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} \] \[ S_{сект} = 112 \cdot \frac{45^\circ}{360^\circ} = 112 \cdot \frac{1}{8} = 14 \] Ответ: 14. Задача 4. Дано: \( \angle AOB = 115^\circ \). Найти: \( \angle C \). Решение: Угол \( \angle AOB \) — центральный, \( \angle ACB \) (или \( \angle C \)) — вписанный, опирающийся на ту же дугу. \[ \angle C = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{115^\circ}{2} = 57,5^\circ \] Ответ: \( 57,5^\circ \). Задача 5. Дано: \( \angle ABC = 124^\circ \), \( \angle OAB = 64^\circ \). Найти: \( \angle BCO \). Решение: 1) Проведем радиусы \( OA, OB, OC \). Треугольники \( \triangle OAB \) и \( \triangle OBC \) — равнобедренные (\( OA=OB=OC=R \)). 2) В \( \triangle OAB \): \( \angle OBA = \angle OAB = 64^\circ \). 3) Тогда \( \angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 124^\circ - 64^\circ = 60^\circ \). 4) В \( \triangle OBC \): \( \angle BCO = \angle OBC = 60^\circ \). Ответ: \( 60^\circ \). Задача 6. Дано: \( AB \) — диаметр, \( \angle BAC = 33^\circ \). Найти: \( \angle ABC \). Решение: Вписанный угол \( \angle ACB \) опирается на диаметр \( AB \), поэтому \( \angle ACB = 90^\circ \). В прямоугольном \( \triangle ABC \): \[ \angle ABC = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 33^\circ = 57^\circ \] Ответ: \( 57^\circ \). Задача 7. Дано: \( \angle AOB = 60^\circ \), \( AB = 4 \). Найти: \( R \). Решение: В \( \triangle AOB \) стороны \( OA = OB = R \), значит он равнобедренный. Так как угол при вершине \( \angle AOB = 60^\circ \), то углы при основании также равны: \[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ \] Треугольник \( \triangle AOB \) — равносторонний, значит \( R = OA = AB = 4 \). Ответ: 4. Задача 8. Дано: \( \angle AOB = 40^\circ \), длина меньшей дуги \( AB = 50 \). Найти: длину большей дуги. Решение: Градусная мера большей дуги: \( 360^\circ - 40^\circ = 320^\circ \). Составим пропорцию: \[ \frac{40^\circ}{50} = \frac{320^\circ}{x} \] \[ x = \frac{50 \cdot 320}{40} = 50 \cdot 8 = 400 \] Ответ: 400.