Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Перепишем систему в стандартном виде, перенеся свободные члены в правую часть: \[ \begin{cases} 8x_1 + 4x_2 - 6x_3 = -18 \\ -2x_1 - 4x_3 - 6x_4 = -2 \\ 6x_1 + 4x_2 + 4x_3 + 6x_4 = -14 \\ 4x_1 + 6x_2 + 8x_3 + 8x_4 = -6 \end{cases} \] Для удобства вычислений разделим первое уравнение на 2, второе на -2, третье на 2 и четвертое на 2: \[ \begin{cases} 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = -9 \\ x_1 + 2x_3 + 3x_4 = 1 \\ 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 3x_4 = -7 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 4x_4 = -3 \end{cases} \] Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду. Поменяем первую и вторую строки местами для удобства: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & | & 1 \\ 4 & 2 & -3 & 0 & | & -9 \\ 3 & 2 & 2 & 3 & | & -7 \\ 2 & 3 & 4 & 4 & | & -3 \end{pmatrix} \] Выполним преобразования: 1) Из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 4. 2) Из 3-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 3. 3) Из 4-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 2. \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 2 & -11 & -12 & | & -13 \\ 0 & 2 & -4 & -6 & | & -10 \\ 0 & 3 & 0 & -2 & | & -5 \end{pmatrix} \] Теперь из 3-й строки вычтем 2-ю: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 2 & -11 & -12 & | & -13 \\ 0 & 0 & 7 & 6 & | & 3 \\ 0 & 3 & 0 & -2 & | & -5 \end{pmatrix} \] Умножим 4-ю строку на 2 и вычтем из нее 2-ю строку, умноженную на 3: \( 2 \cdot R_4 - 3 \cdot R_2 \rightarrow (0, 6, 0, -4, | -10) - (0, 6, -33, -36, | -39) = (0, 0, 33, 32, | 29) \) \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 2 & -11 & -12 & | & -13 \\ 0 & 0 & 7 & 6 & | & 3 \\ 0 & 0 & 33 & 32 & | & 29 \end{pmatrix} \] Из 4-й строки вычтем 3-ю, умноженную на \( \frac{33}{7} \): \( 32 - 6 \cdot \frac{33}{7} = \frac{224 - 198}{7} = \frac{26}{7} \) \( 29 - 3 \cdot \frac{33}{7} = \frac{203 - 99}{7} = \frac{104}{7} \) Получаем уравнение для \( x_4 \): \[ \frac{26}{7}x_4 = \frac{104}{7} \Rightarrow 26x_4 = 104 \Rightarrow x_4 = 4 \] Теперь находим остальные переменные методом обратного хода: Из 3-й строки: \[ 7x_3 + 6(4) = 3 \Rightarrow 7x_3 + 24 = 3 \Rightarrow 7x_3 = -21 \Rightarrow x_3 = -3 \] Из 2-й строки: \[ 2x_2 - 11(-3) - 12(4) = -13 \Rightarrow 2x_2 + 33 - 48 = -13 \Rightarrow 2x_2 - 15 = -13 \Rightarrow 2x_2 = 2 \Rightarrow x_2 = 1 \] Из 1-й строки: \[ x_1 + 2(-3) + 3(4) = 1 \Rightarrow x_1 - 6 + 12 = 1 \Rightarrow x_1 + 6 = 1 \Rightarrow x_1 = -5 \] Ответ: \( x_1 = -5, x_2 = 1, x_3 = -3, x_4 = 4 \).