Решение задач по теме: Призма, Параллелепипед, Куб

Самостоятельная работа по теме: «Прямая и наклонная призма. Параллелепипед. Куб». Вариант 2 1. Сколько граней у шестиугольной призмы? Решение: У n-угольной призмы количество граней равно \(n + 2\). Так как призма шестиугольная, то \(n = 6\). Количество граней: \(6 + 2 = 8\). Ответ: 8 граней. 2. Какое наименьшее число рёбер может иметь призма? Решение: Наименьшее число рёбер имеет треугольная призма. У n-угольной призмы \(3n\) рёбер. Для треугольной призмы (\(n = 3\)): Количество рёбер: \(3 \cdot 3 = 9\). Ответ: 9 рёбер. 3. Три ребра параллелепипеда равны 6 м, 8 м и 10 м. Найдите сумму длин всех его рёбер. Решение: У параллелепипеда 12 рёбер, которые делятся на 3 группы по 4 равных ребра (длина, ширина, высота). Сумма длин всех рёбер \(L\) вычисляется по формуле: \[L = 4 \cdot (a + b + c)\] Подставим значения: \[L = 4 \cdot (6 + 8 + 10) = 4 \cdot 24 = 96 \text{ (м)}\] Ответ: 96 м. 4. Прямая призма называется правильной, если ее основания... Ответ: являются правильными многоугольниками. 5. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 3 см и 4 см. Решение: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: \[d^2 = a^2 + b^2 + c^2\] \[d^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 = 4 + 9 + 16 = 29\] \[d = \sqrt{29} \text{ (см)}\] Ответ: \(\sqrt{29}\) см. 6. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 3 см и 5 см, а одна из диагоналей — 4 см. Меньшая диагональ параллелепипеда с плоскостью основания составляет угол в 60 градусов. Определить диагонали параллелепипеда. Решение: 1) Сначала найдем вторую диагональ основания (\(d_2\)), используя свойство параллелограмма (сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон): \[d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\] \[4^2 + d_2^2 = 2(3^2 + 5^2)\] \[16 + d_2^2 = 2(9 + 25) = 2 \cdot 34 = 68\] \[d_2^2 = 68 - 16 = 52\] \[d_2 = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \text{ (см)}\] Так как \(4 < 2\sqrt{13}\) (потому что \(\sqrt{16} < \sqrt{52}\)), то меньшая диагональ основания \(d_{осн.мин} = 4\) см. 2) Из прямоугольного треугольника, образованного меньшей диагональю параллелепипеда (\(D_1\)), высотой (\(H\)) и меньшей диагональю основания (\(d_1\)): \[H = d_1 \cdot \tan(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3} \text{ (см)}\] \[D_1 = \frac{d_1}{\cos(60^\circ)} = \frac{4}{0,5} = 8 \text{ (см)}\] 3) Найдем большую диагональ параллелепипеда (\(D_2\)): \[D_2 = \sqrt{d_2^2 + H^2} = \sqrt{52 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{52 + 48} = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)}\] Ответ: 8 см и 10 см. 7. В прямом параллелепипеде боковое ребро 1 м, стороны основания 23 дм и 11 дм, а диагонали основания относятся как 2:3. Найдите площади диагональных сечений. Решение: Переведем все единицы в дециметры: \(H = 1 \text{ м} = 10 \text{ дм}\). 1) Пусть диагонали основания равны \(2x\) и \(3x\). Используем свойство параллелограмма: \[(2x)^2 + (3x)^2 = 2(23^2 + 11^2)\] \[4x^2 + 9x^2 = 2(529 + 121)\] \[13x^2 = 2 \cdot 650 = 1300\] \[x^2 = 100 \Rightarrow x = 10\] Диагонали основания: \(d_1 = 2 \cdot 10 = 20 \text{ (дм)}\), \(d_2 = 3 \cdot 10 = 30 \text{ (дм)}\). 2) Площади диагональных сечений (\(S = d \cdot H\)): \[S_1 = d_1 \cdot H = 20 \cdot 10 = 200 \text{ (дм}^2)\] \[S_2 = d_2 \cdot H = 30 \cdot 10 = 300 \text{ (дм}^2)\] Ответ: 200 дм\(^2\) и 300 дм\(^2\).