Решение системы линейных уравнений №4

Решим систему линейных уравнений под номером 4. Для начала приведем систему к стандартному виду \( Ax = B \). Обратите внимание, что в первом уравнении вместо \( x_1 \) стоит число 48 (вероятно, опечатка в условии и должно быть \( 4x_1 \), но будем решать строго по картинке). Если в первом уравнении \( 48 \) — это константа, то уравнение принимает вид \( 2x_2 - 2x_3 = -80 \). Запишем систему: \[ \begin{cases} 2x_2 - 2x_3 = -80 \\ 2x_1 + 4x_3 + 2x_4 = -14 \\ 2x_1 - 8x_2 - 8x_3 = 6 \\ -10x_1 - 4x_2 + 10x_3 + 2x_4 = 24 \end{cases} \] Разделим все уравнения на 2 для упрощения: \[ \begin{cases} x_2 - x_3 = -40 \\ x_1 + 2x_3 + x_4 = -7 \\ x_1 - 4x_2 - 4x_3 = 3 \\ -5x_1 - 2x_2 + 5x_3 + x_4 = 12 \end{cases} \] Запишем расширенную матрицу: \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 0 & | & -40 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & | & -7 \\ 1 & -4 & -4 & 0 & | & 3 \\ -5 & -2 & 5 & 1 & | & 12 \end{pmatrix} \] Поменяем 1-ю и 2-ю строки местами: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & | & -7 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & | & -40 \\ 1 & -4 & -4 & 0 & | & 3 \\ -5 & -2 & 5 & 1 & | & 12 \end{pmatrix} \] Выполним преобразования: 1) Из 3-й строки вычтем 1-ю. 2) К 4-й строке прибавим 1-ю, умноженную на 5. \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & | & -7 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & | & -40 \\ 0 & -4 & -6 & -1 & | & 10 \\ 0 & -2 & 15 & 6 & | & -23 \end{pmatrix} \] Далее: 1) К 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на 4. 2) К 4-й строке прибавим 2-ю, умноженную на 2. \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & | & -7 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & | & -40 \\ 0 & 0 & -10 & -1 & | & -150 \\ 0 & 0 & 13 & 6 & | & -103 \end{pmatrix} \] Из 3-го уравнения выразим \( x_4 = 150 - 10x_3 \). Подставим в 4-е: \[ 13x_3 + 6(150 - 10x_3) = -103 \] \[ 13x_3 + 900 - 60x_3 = -103 \] \[ -47x_3 = -1003 \] \[ x_3 = \frac{1003}{47} \approx 21.34 \] Теперь найдем остальные переменные: \[ x_4 = 150 - 10 \cdot \frac{1003}{47} = \frac{7050 - 10030}{47} = -\frac{2980}{47} \approx -63.4 \] \[ x_2 = x_3 - 40 = \frac{1003}{47} - \frac{1880}{47} = -\frac{877}{47} \approx -18.66 \] \[ x_1 = -7 - 2x_3 - x_4 = -7 - \frac{2006}{47} + \frac{2980}{47} = \frac{-329 - 2006 + 2980}{47} = \frac{645}{47} \approx 13.72 \] Ответ: \( x_1 = \frac{645}{47}, x_2 = -\frac{877}{47}, x_3 = \frac{1003}{47}, x_4 = -\frac{2980}{47} \). Примечание: Если в первом уравнении вместо 48 должно было быть \( 4x_1 \), ход решения будет аналогичен первой задаче, а числа станут целыми. Но при текущем условии ответ получается дробным.