Решение системы уравнений методом Гаусса №8

Решим систему линейных уравнений под номером 8 методом Гаусса. Запишем систему в стандартном виде, перенеся свободные члены в правую часть: \[ \begin{cases} -4x_1 + 6x_2 - 4x_3 - 6x_4 = -18 \\ 4x_1 + 10x_2 - 8x_3 + 2x_4 = -18 \\ 2x_2 - 6x_3 + 6x_4 = 0 \\ -2x_2 - 2x_3 = 2 \end{cases} \] Для упрощения разделим первое и второе уравнения на 2, а третье и четвертое также на 2: \[ \begin{cases} -2x_1 + 3x_2 - 2x_3 - 3x_4 = -9 \\ 2x_1 + 5x_2 - 4x_3 + x_4 = -9 \\ x_2 - 3x_3 + 3x_4 = 0 \\ -x_2 - x_3 = 1 \end{cases} \] Запишем расширенную матрицу системы: \[ \begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 & -3 & | & -9 \\ 2 & 5 & -4 & 1 & | & -9 \\ 0 & 1 & -3 & 3 & | & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & | & 1 \end{pmatrix} \] Выполним преобразования строк: 1) Прибавим к 2-й строке 1-ю строку: \[ \begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 & -3 & | & -9 \\ 0 & 8 & -6 & -2 & | & -18 \\ 0 & 1 & -3 & 3 & | & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & | & 1 \end{pmatrix} \] 2) Поменяем 2-ю и 3-ю строки местами для удобства: \[ \begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 & -3 & | & -9 \\ 0 & 1 & -3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 8 & -6 & -2 & | & -18 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & | & 1 \end{pmatrix} \] 3) Из 3-й строки вычтем 2-ю, умноженную на 8. 4) К 4-й строке прибавим 2-ю строку. \[ \begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 & -3 & | & -9 \\ 0 & 1 & -3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 18 & -26 & | & -18 \\ 0 & 0 & -4 & 3 & | & 1 \end{pmatrix} \] 5) Разделим 3-ю строку на 2: \[ \begin{pmatrix} -2 & 3 & -2 & -3 & | & -9 \\ 0 & 1 & -3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 9 & -13 & | & -9 \\ 0 & 0 & -4 & 3 & | & 1 \end{pmatrix} \] 6) Умножим 4-ю строку на 9 и прибавим к ней 3-ю строку, умноженную на 4: \( 9 \cdot (-4) + 4 \cdot 9 = 0 \) \( 9 \cdot 3 + 4 \cdot (-13) = 27 - 52 = -25 \) \( 9 \cdot 1 + 4 \cdot (-9) = 9 - 36 = -27 \) Получаем уравнение для \( x_4 \): \[ -25x_4 = -27 \Rightarrow x_4 = \frac{27}{25} = 1.08 \] Находим остальные переменные (обратный ход): Из 3-й строки: \[ 9x_3 - 13(1.08) = -9 \Rightarrow 9x_3 - 14.04 = -9 \Rightarrow 9x_3 = 5.04 \Rightarrow x_3 = 0.56 \] Из 2-й строки: \[ x_2 - 3(0.56) + 3(1.08) = 0 \Rightarrow x_2 - 1.68 + 3.24 = 0 \Rightarrow x_2 + 1.56 = 0 \Rightarrow x_2 = -1.56 \] Из 1-й строки: \[ -2x_1 + 3(-1.56) - 2(0.56) - 3(1.08) = -9 \] \[ -2x_1 - 4.68 - 1.12 - 3.24 = -9 \] \[ -2x_1 - 9.04 = -9 \Rightarrow -2x_1 = 0.04 \Rightarrow x_1 = -0.02 \] Ответ: \( x_1 = -0.02, x_2 = -1.56, x_3 = 0.56, x_4 = 1.08 \).