Решение задачи: Найти DE в треугольнике ABC

Дано: Треугольник \(ABC\), угол \(A = 90^\circ\). \(AE = 20\), \(EC = 8\), \(CD = 10\), \(DB = 25\). Найти: \(DE\). Решение: 1. Найдем длины сторон \(AC\) и \(BC\): \[AC = AE + EC = 20 + 8 = 28\] \[BC = BD + DC = 25 + 10 = 35\] 2. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(DEC\). У них общий угол \(C\). Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому углу: \[\frac{EC}{BC} = \frac{8}{35}\] \[\frac{DC}{AC} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}\] Отношения не равны, значит треугольники не подобны напрямую через эти стороны. 3. Однако, заметим, что в прямоугольном треугольнике \(ABC\) по теореме Пифагора можно найти \(AB\): \[AB^2 = BC^2 - AC^2\] \[AB^2 = 35^2 - 28^2 = 1225 - 784 = 441\] \[AB = \sqrt{441} = 21\] 4. Найдем косинус угла \(C\) из треугольника \(ABC\): \[\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{28}{35} = \frac{4}{5} = 0,8\] 5. Теперь рассмотрим треугольник \(DEC\). Применим теорему косинусов для стороны \(DE\): \[DE^2 = DC^2 + EC^2 - 2 \cdot DC \cdot EC \cdot \cos C\] \[DE^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 0,8\] \[DE^2 = 100 + 64 - 160 \cdot 0,8\] \[DE^2 = 164 - 128\] \[DE^2 = 36\] \[DE = \sqrt{36} = 6\] Ответ: \(DE = 6\).