Решение задач по геометрии: Вариант 2

Вариант 2 Задача 1. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle B = 90^\circ \), \( BA = 5 \) см, \( BC = 12 \) см. Найти: \( CA \). Решение: По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: \[ CA^2 = BA^2 + BC^2 \] \[ CA^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] \[ CA = \sqrt{169} = 13 \text{ (см)} \] Ответ: 13 см. Задача 2. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, основание \( AC = 12 \) см, боковая сторона \( AB = BC = 10 \) см. Найти: \( h \) (высоту к основанию), \( S \) (площадь). Решение: 1) Проведем высоту \( BH \) к основанию \( AC \). В равнобедренном треугольнике высота является медианой, значит: \[ AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ (см)} \] 2) Из прямоугольного \( \triangle ABH \) по теореме Пифагора найдем высоту \( BH \): \[ BH^2 = AB^2 - AH^2 \] \[ BH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \] \[ BH = \sqrt{64} = 8 \text{ (см)} \] 3) Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ (см}^2) \] Ответ: высота 8 см, площадь 48 \( \text{см}^2 \). Задача 3. Дано: параллелограмм, стороны \( a = 14 \) см, \( b = 10 \) см, \( \angle \alpha = 150^\circ \). Найти: \( S \). Решение: 1) Сумма соседних углов параллелограмма равна \( 180^\circ \). Найдем острый угол: \[ \angle \beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \] 2) Площадь параллелограмма через стороны и угол между ними: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(30^\circ) \] \[ S = 14 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 70 \text{ (см}^2) \] Ответ: 70 \( \text{см}^2 \). Задача 4. Дано: трапеция \( ABCD \), \( BC = 12 \) см, \( AD = 28 \) см, \( AB = 10 \) см, \( \angle B = 150^\circ \). Найти: \( S \). Решение: 1) Найдем острый угол \( \angle A \). Так как \( BC \parallel AD \), то \( \angle A + \angle B = 180^\circ \) (односторонние углы). \[ \angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \] 2) Проведем высоту \( BH \). В прямоугольном \( \triangle ABH \): \[ BH = AB \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ (см)} \] 3) Площадь трапеции: \[ S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{12 + 28}{2} \cdot 5 = \frac{40}{2} \cdot 5 = 100 \text{ (см}^2) \] Ответ: 100 \( \text{см}^2 \). Задача 5. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 45^\circ \), \( BC = 10 \) см, высота \( BD = 8 \) см. Найти: \( S_{ABC} \). Решение: 1) Рассмотрим прямоугольный \( \triangle ABD \) (\( \angle D = 90^\circ \)). Так как \( \angle A = 45^\circ \), то \( \angle ABD = 45^\circ \), значит треугольник равнобедренный: \[ AD = BD = 8 \text{ (см)} \] 2) Рассмотрим прямоугольный \( \triangle BDC \). По теореме Пифагора найдем \( DC \): \[ DC^2 = BC^2 - BD^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 \] \[ DC = \sqrt{36} = 6 \text{ (см)} \] 3) Основание \( AC = AD + DC = 8 + 6 = 14 \) см. 4) Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 = 56 \text{ (см}^2) \] Ответ: 56 \( \text{см}^2 \).