Решение задачи 15.11: Найти tan ∠HCL

Решение задачи 15.11 Дано: Треугольник \(ABC\), \(\angle C = 90^\circ\). \(CH\) — высота, \(CL\) — биссектриса. \(\tan A = 3\). Найти: \(\tan \angle HCL\). Решение: 1. Рассмотрим углы треугольника. Пусть \(\angle A = \alpha\). По условию \(\tan \alpha = 3\). Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\), то \(\angle B = 90^\circ - \alpha\). 2. В прямоугольном треугольнике \(ACH\) угол \(\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \alpha\). 3. Так как \(CL\) — биссектриса прямого угла \(C\), то \(\angle ACL = 45^\circ\). 4. Искомый угол \(\angle HCL\) равен разности углов \(\angle ACL\) и \(\angle ACH\): \[ \angle HCL = |\angle ACL - \angle ACH| = |45^\circ - (90^\circ - \alpha)| = |\alpha - 45^\circ| \] 5. Воспользуемся формулой тангенса разности углов: \[ \tan \angle HCL = \tan |\alpha - 45^\circ| = \left| \frac{\tan \alpha - \tan 45^\circ}{1 + \tan \alpha \cdot \tan 45^\circ} \right| \] 6. Подставим известные значения (\(\tan \alpha = 3\), \(\tan 45^\circ = 1\)): \[ \tan \angle HCL = \left| \frac{3 - 1}{1 + 3 \cdot 1} \right| = \frac{2}{4} = 0,5 \] Ответ: 0,5. --- Решение задачи 15.13 Дано: Равнобедренный треугольник, боковая сторона \(a = 5\), высота к основанию \(h = 4\). Найти: основание \(b\). Решение: 1. Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является также медианой. Она делит основание \(b\) на две равные части: \(\frac{b}{2}\). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты). По теореме Пифагора: \[ \left( \frac{b}{2} \right)^2 + h^2 = a^2 \] 3. Подставим значения: \[ \left( \frac{b}{2} \right)^2 + 4^2 = 5^2 \] \[ \left( \frac{b}{2} \right)^2 + 16 = 25 \] \[ \left( \frac{b}{2} \right)^2 = 9 \] \[ \frac{b}{2} = 3 \] \[ b = 6 \] Ответ: 6. --- Решение задачи 15.14 Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle A = 30^\circ\), \(AB = \sqrt{3}\), \(AC = 1\). Найти: \(BC\). Решение: 1. Воспользуемся теоремой косинусов: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \] 2. Подставим значения: \[ BC^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \cos 30^\circ \] \[ BC^2 = 3 + 1 - 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ BC^2 = 4 - 3 \] \[ BC^2 = 1 \] \[ BC = 1 \] Ответ: 1.