Решение задач по геометрии и алгебре

Ниже представлены решения задач из ваших фотографий, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задание 5 Для нахождения радиуса \(R\) рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной ширины кожуха и частью высоты. Ширина кожуха равна 36 см, значит, катет треугольника равен \(36 : 2 = 18\) см. Высота прямоугольной части до начала арки: 48 см. Полная высота до верхней точки: 60 см. Расстояние от центра окружности до основания арки обозначим как \(R - (60 - 48) = R - 12\). По теореме Пифагора: \[ R^2 = 18^2 + (R - 12)^2 \] \[ R^2 = 324 + R^2 - 24R + 144 \] \[ 24R = 468 \] \[ R = 19,5 \] Ответ: 19,5 Задание 6 \[ 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 17 \cdot \frac{1}{3} = 6 \cdot \frac{1}{9} - \frac{17}{3} = \frac{6}{9} - \frac{17}{3} = \frac{2}{3} - \frac{17}{3} = -\frac{15}{3} = -5 \] Ответ: -5 Задание 7 На координатной прямой числа расположены в порядке возрастания: \(z < y < x\). Разность положительна, если из большего числа вычитают меньшее. 1) \(z - x < 0\) (меньшее минус большее) 2) \(x - y > 0\) (большее минус меньшее) — верно. 3) \(z - y < 0\) (меньшее минус большее) Ответ: 2 Задание 8 \[ 5\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{39} = 10 \cdot \sqrt{13 \cdot 3 \cdot 39} = 10 \cdot \sqrt{39 \cdot 39} = 10 \cdot 39 = 390 \] Ответ: 390 Задание 9 \[ 5(3 - x) = 2 \] \[ 15 - 5x = 2 \] \[ -5x = 2 - 15 \] \[ -5x = -13 \] \[ x = 2,6 \] Ответ: 2,6 Задание 10 Всего детей: Люся, Марат, Вадик, Зоя — 4 человека. Девочек среди них: Люся и Зоя — 2 человека. Вероятность \(P = \frac{2}{4} = 0,5\). Ответ: 0,5 Задание 11 А) Прямая проходит через (0,0) и (1,1) — это \(y = x\). В списке нет, но есть \(y = x - 1\) и \(y = -x\). По графику А: при \(x=1, y=1\). Подходит формула 3, если график смещен, но на рисунке А прямая \(y=x\). Проверим Б: убывающая, \(y = -x\) (номер 1). В: горизонтальная \(y = -1\) (номер 2). Тогда А — это номер 3 (с учетом масштаба и смещения). Ответ: 312 Задание 12 \[ F = k \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2} \Rightarrow q_1 = \frac{F \cdot r^2}{k \cdot q_2} \] \[ q_1 = \frac{0,0004 \cdot 3000^2}{9 \cdot 10^9 \cdot 0,0008} = \frac{4 \cdot 10^{-4} \cdot 9 \cdot 10^6}{9 \cdot 10^9 \cdot 8 \cdot 10^{-4}} = \frac{36 \cdot 10^2}{72 \cdot 10^5} = 0,5 \cdot 10^{-3} = 0,0005 \] Ответ: 0,0005 Задание 13 \[ x^2 \le 64 \Rightarrow |x| \le 8 \Rightarrow -8 \le x \le 8 \] Это соответствует рисунку под номером 4. Ответ: 4 Задание 14 Для 1 столика — 4 места. При добавлении каждого следующего столика в ряд добавляется 2 места. Формула: \(N = 4 + 2(n - 1)\), где \(n\) — количество столиков. \[ N = 4 + 2(16 - 1) = 4 + 2 \cdot 15 = 4 + 30 = 34 \] Ответ: 34 Задание 15 Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \Rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} \] \[ \sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} = 0,6 \] Ответ: 0,6 Задание 16 Так как центр окружности лежит на стороне \(AB\), то \(AB\) — диаметр. Угол \(C\), опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\). \(AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 10 = 20\). По теореме Пифагора в \(\triangle ABC\): \[ BC^2 = AB^2 - AC^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144 \] \[ BC = \sqrt{144} = 12 \] Ответ: 12 Задание 17 В ромбе диагонали являются биссектрисами углов. Угол \(BCD = \angle ABC = 72^\circ\) (соседние углы в сумме \(180^\circ\), но здесь ромб). Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). \(\angle BCD = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\). Так как \(AC\) — биссектриса угла \(BCD\): \[ \angle ACD = 108^\circ : 2 = 54^\circ \] Ответ: 54 Задание 18 Просто считаем количество целых клеток внутри фигуры на рисунке. В фигуре 7 клеток. Ответ: 7 Задание 19 1) Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам — Верно (свойство параллелограмма). 2) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту (а не просто основания) — Неверно. 3) Только биссектриса, проведенная к основанию, является высотой — Неверно. Ответ: 1