Решение задачи: Производные параметрической и неявной функции

Ниже представлено решение задач с фотографии, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Нахождение производной функции, заданной параметрически. Дано: \[ \begin{cases} x = 2 \cos t \\ y = 2 \sin t \end{cases} \] где \( 0 \le t \le 2\pi \). Решение: Для нахождения производной \( y'_x \) воспользуемся формулой: \[ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} \] 1) Найдем производную \( x \) по \( t \): \[ x'_t = (2 \cos t)' = -2 \sin t \] 2) Найдем производную \( y \) по \( t \): \[ y'_t = (2 \sin t)' = 2 \cos t \] 3) Подставим полученные значения в формулу: \[ y'_x = \frac{2 \cos t}{-2 \sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\text{ctg } t \] Ответ: \( y'_x = -\text{ctg } t \). Задача 2. Нахождение производной неявной функции. Дано уравнение: \[ x^3 + y^3 = 3xy \] (Примечание: на фото в условии написано \( x^2 \), но судя по структуре уравнения и записи ниже, это классический "Декартов лист", где используется \( x^3 \). Решим для общего случая \( x^3 + y^3 - 3xy = 0 \)). Решение: Продифференцируем обе части уравнения по \( x \), учитывая, что \( y \) является функцией от \( x \): \[ (x^3)' + (y^3)' = (3xy)' \] \[ 3x^2 + 3y^2 \cdot y' = 3(1 \cdot y + x \cdot y') \] Разделим все уравнение на 3: \[ x^2 + y^2 \cdot y' = y + x \cdot y' \] Сгруппируем слагаемые с \( y' \) в левой части, а остальные в правой: \[ y^2 \cdot y' - x \cdot y' = y - x^2 \] \[ y'(y^2 - x) = y - x^2 \] Выразим \( y' \): \[ y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x} \] Ответ: \( y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x} \). Дополнение (параметрический вид Декартова листа): На фото также приведена система: \[ \begin{cases} x = \frac{3t}{1+t^3} \\ y = \frac{3t^2}{1+t^3} \end{cases} \] Это параметрическое представление той же кривой. Если нужно найти производную через \( t \), используется тот же метод \( y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} \), что и в первой задаче.