Решение системы линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений. 1) а) \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 3x + y = 7 \end{cases} \] Вычтем из второго уравнения первое: \[ (3x + y) - (x + y) = 7 - 5 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \] Подставим \( x = 1 \) в первое уравнение: \[ 1 + y = 5 \] \[ y = 4 \] Ответ: (1; 4). 1) б) \[ \begin{cases} x - y = 0 \\ x - 3y = 6 \end{cases} \] Из первого уравнения: \( x = y \). Подставим во второе: \[ y - 3y = 6 \] \[ -2y = 6 \] \[ y = -3 \] Тогда \( x = -3 \). Ответ: (-3; -3). 1) в) \[ \begin{cases} y - x = -3 \\ 2x + y = 9 \end{cases} \] Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = x - 3 \). Подставим во второе: \[ 2x + (x - 3) = 9 \] \[ 3x = 12 \] \[ x = 4 \] Находим \( y \): \[ y = 4 - 3 = 1 \] Ответ: (4; 1). 1) г) \[ \begin{cases} -2x + y = 3 \\ 3x - y = -1 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ (-2x + y) + (3x - y) = 3 + (-1) \] \[ x = 2 \] Подставим \( x = 2 \) в первое уравнение: \[ -2 \cdot 2 + y = 3 \] \[ -4 + y = 3 \] \[ y = 7 \] Ответ: (2; 7). 2) а) \[ \begin{cases} 3m - 2n = 5 \\ m + 2n = 15 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 4m = 20 \] \[ m = 5 \] Подставим \( m = 5 \) во второе уравнение: \[ 5 + 2n = 15 \] \[ 2n = 10 \] \[ n = 5 \] Ответ: (5; 5). 2) б) \[ \begin{cases} a + 3b = 2 \\ 2a + 3b = 7 \end{cases} \] Вычтем из второго уравнения первое: \[ a = 5 \] Подставим \( a = 5 \) в первое уравнение: \[ 5 + 3b = 2 \] \[ 3b = -3 \] \[ b = -1 \] Ответ: (5; -1). 2) в) \[ \begin{cases} 3k - 5p = 14 \\ k + 2p = 1 \end{cases} \] Выразим \( k \) из второго уравнения: \( k = 1 - 2p \). Подставим в первое: \[ 3(1 - 2p) - 5p = 14 \] \[ 3 - 6p - 5p = 14 \] \[ -11p = 11 \] \[ p = -1 \] Находим \( k \): \[ k = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 \] Ответ: (3; -1). 2) г) \[ \begin{cases} 2c - d = 2 \\ 3c - 2d = 3 \end{cases} \] Выразим \( d \) из первого уравнения: \( d = 2c - 2 \). Подставим во второе: \[ 3c - 2(2c - 2) = 3 \] \[ 3c - 4c + 4 = 3 \] \[ -c = -1 \] \[ c = 1 \] Находим \( d \): \[ d = 2 \cdot 1 - 2 = 0 \] Ответ: (1; 0).