Построение графика функции y = √|x| + 3: Решение

Задание 5. Постройте график функции \( y = \sqrt{|x|} + 3 \). Решение: 1. Область определения функции: так как под корнем стоит модуль, то \( |x| \ge 0 \) выполняется для любого \( x \). Значит, \( D(y) = (-\infty; +\infty) \). 2. Четность функции: \( f(-x) = \sqrt{|-x|} + 3 = \sqrt{|x|} + 3 = f(x) \). Функция четная, ее график симметричен относительно оси \( Oy \). 3. Алгоритм построения: а) Построим график базовой функции \( y = \sqrt{x} \) для \( x \ge 0 \). Точки для построения: \( (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3) \). б) Отразим полученную ветвь симметрично относительно оси \( Oy \), чтобы получить график \( y = \sqrt{|x|} \). в) Сдвинем весь график вдоль оси \( Oy \) на 3 единицы вверх. 4. Итоговые точки для графика \( y = \sqrt{|x|} + 3 \): Для \( x = 0 \): \( y = \sqrt{0} + 3 = 3 \). Точка \( (0; 3) \). Для \( x = 1 \) и \( x = -1 \): \( y = \sqrt{1} + 3 = 4 \). Точки \( (1; 4) \) и \( (-1; 4) \). Для \( x = 4 \) и \( x = -4 \): \( y = \sqrt{4} + 3 = 5 \). Точки \( (4; 5) \) и \( (-4; 5) \). Задание 6. Постройте график функции \( y = \left| \frac{3 - x}{x + 1} \right| \). Решение: 1. Область определения: знаменатель не равен нулю, \( x + 1 \neq 0 \), значит \( x \neq -1 \). 2. Преобразуем выражение под знаком модуля: \[ \frac{3 - x}{x + 1} = \frac{-(x + 1) + 4}{x + 1} = -1 + \frac{4}{x + 1} \] 3. Алгоритм построения: а) Построим график дробно-линейной функции \( f(x) = \frac{4}{x + 1} - 1 \). Это гипербола \( y = \frac{4}{x} \), смещенная на 1 единицу влево (асимптота \( x = -1 \)) и на 1 единицу вниз (асимптота \( y = -1 \)). Точки для \( f(x) \): При \( x = 0 \), \( y = 3 \). При \( x = 1 \), \( y = 1 \). При \( x = 3 \), \( y = 0 \). При \( x = -2 \), \( y = -5 \). При \( x = -3 \), \( y = -3 \). При \( x = -5 \), \( y = -2 \). б) Чтобы получить итоговый график \( y = |f(x)| \), нужно ту часть графика, которая лежит ниже оси \( Ox \), зеркально отразить вверх относительно оси \( Ox \). 4. Особенности итогового графика: Вертикальная асимптота: \( x = -1 \). Горизонтальная асимптота: \( y = 1 \) (так как исходная была \( y = -1 \), после модуля она стала \( y = 1 \)). Точка пересечения с осью \( Ox \): \( (3; 0) \). Точка пересечения с осью \( Oy \): \( (0; 3) \).