Найти площадь закрашенной фигуры: решение задачи

Задача: Используя данные рисунка, найдите площадь закрашенной фигуры. Решение: Дано: Радиус \( R = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \) Угол незакрашенного сектора \( \alpha_{1} = 120^\circ \) Найти: \( S_{закр} \) — ? 1. Сначала найдем площадь всего круга по формуле \( S = \pi R^2 \): \[ S_{кр} = \pi \cdot \left( \frac{3}{\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \cdot \frac{9}{\pi} = 9 \] 2. Закрашенная фигура представляет собой сектор. Найдем его центральный угол \( \alpha_{2} \). Так как полный угол окружности равен \( 360^\circ \), то: \[ \alpha_{2} = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ \] 3. Найдем площадь закрашенного сектора. Она составляет часть от площади всего круга: \[ S_{закр} = S_{кр} \cdot \frac{\alpha_{2}}{360^\circ} \] 4. Подставим значения: \[ S_{закр} = 9 \cdot \frac{240^\circ}{360^\circ} \] 5. Сократим дробь \( \frac{240}{360} \) на 120: \[ \frac{240}{360} = \frac{2}{3} \] 6. Вычислим итоговый результат: \[ S_{закр} = 9 \cdot \frac{2}{3} = \frac{18}{3} = 6 \] Ответ: 6.