Решение задачи: Площадь круга и сектора

Задача: Площадь круга и сектора Площадь кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями, равна \( 180\pi \), а радиусы этих окружностей относятся как \( \frac{2}{7} \). Найдите радиус большей из окружностей. Решение: Дано: \( S_{кольца} = 180\pi \) \( \frac{r}{R} = \frac{2}{7} \), где \( r \) — меньший радиус, \( R \) — больший радиус. Найти: \( R \) — ? 1. Выразим радиусы через коэффициент пропорциональности \( x \): Пусть \( r = 2x \), тогда \( R = 7x \). 2. Площадь кольца определяется как разность площадей большего и меньшего кругов: \[ S_{кольца} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) \] 3. Подставим в формулу наши выражения через \( x \) и известное значение площади: \[ 180\pi = \pi ((7x)^2 - (2x)^2) \] 4. Разделим обе части уравнения на \( \pi \) и раскроем скобки: \[ 180 = 49x^2 - 4x^2 \] \[ 180 = 45x^2 \] 5. Найдем \( x^2 \): \[ x^2 = \frac{180}{45} \] \[ x^2 = 4 \] Отсюда \( x = 2 \) (так как радиус не может быть отрицательным). 6. Теперь найдем радиус большей окружности \( R \): \[ R = 7x = 7 \cdot 2 = 14 \] Ответ: 14.