Решение: Квадратичная функция y = x^2 + 8x + 7 и ее график

Задание: Исследовать квадратичную функцию \( y = x^2 + 8x + 7 \) и построить её график. Решение: 1. Определим направление ветвей параболы. Так как коэффициент при \( x^2 \) равен \( a = 1 \) (что больше нуля), то ветви параболы направлены вверх. 2. Найдем координаты вершины параболы \( (x_0; y_0) \). Формула для абсциссы вершины: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения \( a = 1, b = 8 \): \[ x_0 = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4 \] Найдем ординату вершины, подставив \( x_0 \) в уравнение функции: \[ y_0 = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 \] Вершина параболы находится в точке \( (-4; -9) \). 3. Найдем точки пересечения с осями координат. С осью \( Oy \) (при \( x = 0 \)): \[ y = 0^2 + 8 \cdot 0 + 7 = 7 \] Точка пересечения: \( (0; 7) \). С осью \( Ox \) (при \( y = 0 \)): Решим квадратное уравнение \( x^2 + 8x + 7 = 0 \). По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -8 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 7 \] Корни уравнения: \( x_1 = -7 \), \( x_2 = -1 \). Точки пересечения: \( (-7; 0) \) и \( (-1; 0) \). 4. Ось симметрии параболы. Осью симметрии является прямая \( x = -4 \). 5. Дополнительные точки для построения. Возьмем \( x = -2 \): \[ y = (-2)^2 + 8 \cdot (-2) + 7 = 4 - 16 + 7 = -5 \] Точка: \( (-2; -5) \). Из симметрии также имеем точку \( (-6; -5) \). Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке \( (-4; -9) \), пересекающая ось \( Ox \) в точках \( -7 \) и \( -1 \), а ось \( Oy \) в точке \( 7 \). Ветви направлены вверх.