Решение: Билет №7 Сопромат - Момент инерции

Билет № 7 по дисциплине «Сопротивление материалов» Вопрос 1. Момент инерции относительно повернутых осей. Главные оси. Главные моменты инерции. При повороте осей координат на угол \(\alpha\) (положительным считается поворот против часовой стрелки) моменты инерции изменяются по следующим формулам: \[I_{x1} = \frac{I_x + I_y}{2} + \frac{I_x - I_y}{2} \cos(2\alpha) - I_{xy} \sin(2\alpha)\] \[I_{y1} = \frac{I_x + I_y}{2} - \frac{I_x - I_y}{2} \cos(2\alpha) + I_{xy} \sin(2\alpha)\] \[I_{x1y1} = \frac{I_x - I_y}{2} \sin(2\alpha) + I_{xy} \cos(2\alpha)\] Главные оси — это оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю (\(I_{x1y1} = 0\)). Угол наклона главных осей \(\alpha_0\) определяется из условия: \[\tan(2\alpha_0) = \frac{2I_{xy}}{I_y - I_x}\] Главные моменты инерции — это моменты инерции относительно главных осей. Они принимают экстремальные (максимальное и минимальное) значения и вычисляются по формуле: \[I_{max, min} = \frac{I_x + I_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{I_x - I_y}{2}\right)^2 + I_{xy}^2}\] Вопрос 2. Построить эпюры внутренних усилий Q и M для балки. 1. Определение реакций опор. Обозначим левую опору как А, правую как В. Расстояние между ними \(2a\). Сумма моментов относительно точки А (\(\sum M_A = 0\)): \[-qa^2 + R_B \cdot 2a - q \cdot 2a \cdot 2a = 0\] \[-qa^2 + 2a R_B - 4qa^2 = 0 \Rightarrow 2a R_B = 5qa^2 \Rightarrow R_B = 2.5qa\] Сумма моментов относительно точки В (\(\sum M_B = 0\)): \[-qa^2 - R_A \cdot 2a + q \cdot 2a \cdot 0 = 0\] Здесь распределенная нагрузка симметрична относительно В на участке \(2a\), но расчет ведем точнее: \[-qa^2 - R_A \cdot 2a + q \cdot a \cdot \frac{a}{2} - q \cdot a \cdot \frac{a}{2} = 0\] \[-qa^2 - 2a R_A = 0 \Rightarrow R_A = -0.5qa\] (направлена вниз) Проверка (\(\sum F_y = 0\)): \[R_A + R_B - q \cdot 2a = -0.5qa + 2.5qa - 2qa = 0\] (Верно) 2. Построение эпюры поперечных сил \(Q\). Участок 1 (от левого края до опоры А, \(0 \le x_1 < a\)): \[Q_1 = 0\] Участок 2 (между опорами, \(a \le x_2 < 2a\)): \[Q_2 = R_A = -0.5qa\] Участок 3 (от начала распределенной нагрузки до опоры В, \(2a \le x_3 < 3a\)): \[Q_3 = R_A - q(x_3 - 2a)\] При \(x_3 = 2a\): \(Q = -0.5qa\). При \(x_3 = 3a\): \(Q = -1.5qa\). Участок 4 (от опоры В до правого края, \(3a \le x_4 < 4a\)): \[Q_4 = R_A + R_B - q(x_4 - 2a) = 2qa - q(x_4 - 2a)\] При \(x_4 = 3a\): \(Q = 2qa - qa = qa\). При \(x_4 = 4a\): \(Q = 0\). 3. Построение эпюры изгибающих моментов \(M\). Участок 1: \(M_1 = qa^2\) (константа, растянуты верхние волокна). Участок 2: \(M_2 = qa^2 + R_A(x_2 - a) = qa^2 - 0.5qa(x_2 - a)\). При \(x_2 = 2a\): \(M = 0.5qa^2\). Участок 3: \(M_3 = 0.5qa^2 - 0.5qa(x_3 - 2a) - \frac{q(x_3 - 2a)^2}{2}\). При \(x_3 = 3a\): \(M = 0.5qa^2 - 0.5qa^2 - 0.5qa^2 = -0.5qa^2\). Участок 4: \(M_4 = \frac{q(4a - x_4)^2}{2}\) (с правого конца). При \(x_4 = 3a\): \(M = 0.5qa^2\). Эпюра \(Q\) состоит из прямоугольников и наклонных линий. Эпюра \(M\) на участках с \(q\) представляет собой параболы. На опоре В наблюдается скачок на эпюре \(Q\) величиной \(R_B\) и перелом на эпюре \(M\).