Решение задачи о многоугольниках F1 и F2

Задача Пусть \( n_1 \) — количество вершин многоугольника \( F_1 \), а \( n_2 \) — количество вершин многоугольника \( F_2 \). По условию задачи: 1) Количество вершин у \( F_1 \) на 3 меньше, чем у \( F_2 \): \[ n_1 = n_2 - 3 \] 2) Внутренний угол правильного \( n \)-угольника вычисляется по формуле: \[ \alpha = \frac{180^\circ (n - 2)}{n} \] Следовательно, внутренний угол \( F_1 \) равен: \[ \alpha_1 = \frac{180^\circ (n_1 - 2)}{n_1} \] 3) Внешний угол правильного \( n \)-угольника вычисляется по формуле: \[ \beta = \frac{360^\circ}{n} \] Следовательно, внешний угол \( F_2 \) равен: \[ \beta_2 = \frac{360^\circ}{n_2} \] 4) По условию внутренний угол \( F_1 \) в три раза больше внешнего угла \( F_2 \): \[ \alpha_1 = 3 \cdot \beta_2 \] Подставим формулы в это уравнение: \[ \frac{180(n_1 - 2)}{n_1} = 3 \cdot \frac{360}{n_2} \] Разделим обе части на 180: \[ \frac{n_1 - 2}{n_1} = \frac{3 \cdot 2}{n_2} \] \[ \frac{n_1 - 2}{n_1} = \frac{6}{n_2} \] Теперь подставим выражение \( n_1 = n_2 - 3 \) в полученное уравнение: \[ \frac{(n_2 - 3) - 2}{n_2 - 3} = \frac{6}{n_2} \] \[ \frac{n_2 - 5}{n_2 - 3} = \frac{6}{n_2} \] Применим свойство пропорции (перемножим крест-накрест): \[ n_2(n_2 - 5) = 6(n_2 - 3) \] \[ n_2^2 - 5n_2 = 6n_2 - 18 \] \[ n_2^2 - 11n_2 + 18 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49 \] \[ \sqrt{D} = 7 \] Находим корни: \[ n_{2,1} = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] \[ n_{2,2} = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Так как количество вершин многоугольника должно быть больше 2, а также по условию \( n_1 = n_2 - 3 \) (при \( n_2 = 2 \) число \( n_1 \) станет отрицательным), корень \( n_2 = 2 \) нам не подходит. Значит, \( n_2 = 9 \). Проверка: Если \( n_2 = 9 \), то \( n_1 = 9 - 3 = 6 \). Внутренний угол \( F_1 \) (шестиугольника): \( \frac{180(6-2)}{6} = 120^\circ \). Внешний угол \( F_2 \) (девятиугольника): \( \frac{360}{9} = 40^\circ \). \( 120^\circ \) в три раза больше, чем \( 40^\circ \). Условие выполняется. Ответ: 9.