Решение задач: Правильные многоугольники

Решения задач из домашнего задания: Задание №1 Найдите сумму внешних углов правильного \( 9 \)-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу. Решение: Существует теорема, согласно которой сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника (взятых по одному при каждой вершине) всегда равна \( 360^\circ \), независимо от количества его сторон. Ответ: \( 360^\circ \). Задание №2 Один из углов правильного \( n \)-угольника равен \( 156^\circ \). Чему может быть равно \( n \)? Решение: Воспользуемся формулой внутреннего угла правильного \( n \)-угольника: \[ \alpha = \frac{180^\circ(n - 2)}{n} \] Подставим известное значение: \[ 156 = \frac{180(n - 2)}{n} \] Умножим обе части на \( n \): \[ 156n = 180n - 360 \] Перенесем слагаемые с \( n \) в одну сторону, а числа в другую: \[ 180n - 156n = 360 \] \[ 24n = 360 \] \[ n = \frac{360}{24} \] \[ n = 15 \] Ответ: \( 15 \). Задание №3 Сумма углов правильного \( n \)-угольника равна \( 1080^\circ \). Чему равно \( n \)? Решение: Формула суммы углов выпуклого \( n \)-угольника: \[ S = 180^\circ(n - 2) \] Подставим значение суммы: \[ 1080 = 180(n - 2) \] Разделим обе части на 180: \[ \frac{1080}{180} = n - 2 \] \[ 6 = n - 2 \] \[ n = 6 + 2 \] \[ n = 8 \] Ответ: \( 8 \). Задание №4 Выберите варианты, в которых описанный многоугольник гарантированно является правильным. Анализ вариантов: 1) Треугольник, у которого все стороны равны. Это правильное утверждение, так как равносторонний треугольник всегда имеет равные углы (по \( 60^\circ \)). 2) Шестиугольник, у которого все углы равны. Это не гарантирует правильность, так как стороны могут быть разной длины (например, "вытянутый" шестиугольник). 3) Четырехугольник, у которого все углы равны. Это прямоугольник, он не обязательно является правильным (квадратом), так как стороны могут быть разными. Правильный ответ: Треугольник, у которого все стороны равны.