Решение задачи №5: Нахождение вершин многоугольника

Задание №5 На плоскости построили два правильных многоугольника \( F_1 \) и \( F_2 \). Оказалось, что количество вершин у \( F_1 \) на 3 меньше, чем у \( F_2 \). При этом внутренний угол \( F_1 \) в три раза больше внешнего угла \( F_2 \). Найдите количество вершин у многоугольника \( F_2 \). Решение: Пусть \( n_1 \) — количество вершин многоугольника \( F_1 \), а \( n_2 \) — количество вершин многоугольника \( F_2 \). 1) По условию: \[ n_1 = n_2 - 3 \] 2) Формула внутреннего угла правильного \( n \)-угольника: \[ \alpha = \frac{180^\circ(n - 2)}{n} \] Для \( F_1 \): \[ \alpha_1 = \frac{180^\circ(n_1 - 2)}{n_1} \] 3) Формула внешнего угла правильного \( n \)-угольника: \[ \beta = \frac{360^\circ}{n} \] Для \( F_2 \): \[ \beta_2 = \frac{360^\circ}{n_2} \] 4) Составим уравнение согласно условию \( \alpha_1 = 3 \cdot \beta_2 \): \[ \frac{180(n_1 - 2)}{n_1} = 3 \cdot \frac{360}{n_2} \] Разделим обе части на 180: \[ \frac{n_1 - 2}{n_1} = \frac{6}{n_2} \] Подставим \( n_1 = n_2 - 3 \): \[ \frac{n_2 - 3 - 2}{n_2 - 3} = \frac{6}{n_2} \] \[ \frac{n_2 - 5}{n_2 - 3} = \frac{6}{n_2} \] Перемножим крест-накрест: \[ n_2(n_2 - 5) = 6(n_2 - 3) \] \[ n_2^2 - 5n_2 = 6n_2 - 18 \] \[ n_2^2 - 11n_2 + 18 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 18 = 121 - 72 = 49 \] \[ n_2 = \frac{11 \pm 7}{2} \] \[ n_{2,1} = 9; \quad n_{2,2} = 2 \] Так как у многоугольника должно быть больше 2 вершин, подходит только \( n_2 = 9 \). Ответ: \( n = 9 \).