Решение задачи на подобие треугольников MKL и ABC

Ниже представлено оформление решения задач с картинки для тетради. Задача с.12 Дано: Треугольник \(MKL\): \(KL = 3\), \(ML = 4\), \(MK = 5\), \(\angle L = 90^\circ\). Треугольник \(ABC\): \(BC = 69\), \(AC = 92\), \(AB = 115\), \(\angle C = 90^\circ\). Доказать: \(\triangle MKL \sim \triangle ABC\). Доказательство: 1) Рассмотрим углы: \(\angle L = \angle C = 90^\circ\). 2) Проверим пропорциональность катетов: \[ \frac{KL}{BC} = \frac{3}{69} = \frac{1}{23} \] \[ \frac{ML}{AC} = \frac{4}{92} = \frac{1}{23} \] Так как \(\frac{KL}{BC} = \frac{ML}{AC}\), то стороны, образующие прямой угол, пропорциональны. 3) Следовательно, \(\triangle MKL \sim \triangle ABC\) по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Задача с.13 Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle PBD\). \(BP = 3\), \(BC = 12\). \(BD = 5\), \(BA = 20\). \(\angle B\) — общий. Доказать: \(\triangle ABC \sim \triangle PBD\). Найти: отношение площадей и периметров. Решение: 1) Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(PBD\). У них угол \(B\) — общий. 2) Проверим отношение соответствующих сторон: \[ \frac{BP}{BC} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \] \[ \frac{BD}{BA} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \] Отношения равны, значит стороны пропорциональны. 3) \(\triangle ABC \sim \triangle PBD\) по второму признаку подобия. Коэффициент подобия \(k = \frac{1}{4}\). 4) Находим отношения: Отношение периметров равно коэффициенту подобия: \[ \frac{P_{DBP}}{P_{CBA}} = k = \frac{1}{4} \] Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{DBP}}{S_{CBA}} = k^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \] Ответ: \(\triangle ABC \sim \triangle PBD\); отношение периметров \(1:4\); отношение площадей \(1:16\).