Наименьшее и наибольшее значения функции tg x

Задача 14.2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции \( y = \text{tg } x \) на заданном промежутке. Решение: Функция \( y = \text{tg } x \) является возрастающей на каждом интервале своей области определения. Поэтому на любом отрезке \( [a; b] \), входящем в область определения, наименьшее значение достигается в левом конце, а наибольшее — в правом. Если промежуток открытый или полуоткрытый и уходит в бесконечность, то соответствующих экстремальных значений может не существовать. а) На интервале \( \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \): На данном интервале функция \( y = \text{tg } x \) принимает все значения от \( -\infty \) до \( +\infty \). Ответ: \( y_{min} \) не существует; \( y_{max} \) не существует. б) На полуинтервале \( \left( \frac{3\pi}{4}; \pi \right] \): Так как функция возрастает, наибольшее значение будет в правой точке \( x = \pi \). \[ y_{max} = y(\pi) = \text{tg } \pi = 0 \] При приближении к \( x = \frac{3\pi}{4} \) слева значения функции уменьшаются, но сама точка не включена. Однако, так как интервал ограничен, мы можем сказать, что нижнего предела (наименьшего значения) нет, так как точка выколота. Ответ: \( y_{min} \) не существует; \( y_{max} = 0 \). в) На отрезке \( \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{6} \right] \): Функция непрерывна и возрастает на этом отрезке. Наименьшее значение: \[ y_{min} = y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \] Наибольшее значение: \[ y_{max} = y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Ответ: \( y_{min} = -1 \); \( y_{max} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). г) На полуинтервале \( \left[ \pi; \frac{3\pi}{2} \right) \): Наименьшее значение достигается в левом конце: \[ y_{min} = y(\pi) = \text{tg } \pi = 0 \] При \( x \to \frac{3\pi}{2} \) слева, функция \( \text{tg } x \to +\infty \), поэтому наибольшего значения не существует. Ответ: \( y_{min} = 0 \); \( y_{max} \) не существует.