Решение задачи: Наибольшее и наименьшее значение cos(x)

Задача 11.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции \( y = \cos x \) на заданном промежутке. Решение: Для решения задачи вспомним, что функция \( y = \cos x \) принимает значения в пределах от \( -1 \) до \( 1 \). На различных участках она может как возрастать, так и убывать. а) На отрезке \( \left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right] \): На этом промежутке функция \( y = \cos x \) монотонно убывает, так как он целиком лежит в первой и второй четвертях (от \( 30^\circ \) до \( 120^\circ \)). Наибольшее значение будет в левом конце: \[ y_{max} = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Наименьшее значение будет в правом конце: \[ y_{min} = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \] Ответ: \( y_{min} = -0,5 \); \( y_{max} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). б) На интервале \( \left( -\pi; \frac{\pi}{4} \right) \): На этом интервале функция сначала возрастает (от \( -\pi \) до \( 0 \)), а затем убывает. В точке \( x = 0 \) функция достигает своего абсолютного максимума. \[ y_{max} = \cos 0 = 1 \] При приближении к \( x = -\pi \) значение функции стремится к \( \cos(-\pi) = -1 \), но так как интервал открытый, само значение \( -1 \) не достигается. Ответ: \( y_{min} \) не существует; \( y_{max} = 1 \). в) На луче \( \left[ -\frac{\pi}{3}; +\infty \right) \): Так как луч бесконечен и охватывает множество периодов функции косинус, она обязательно примет свои минимально и максимально возможные значения на всей числовой прямой. Минимальное значение косинуса равно \( -1 \), максимальное равно \( 1 \). Оба этих значения достигаются в точках, входящих в данный луч (например, \( \cos \pi = -1 \) и \( \cos 0 = 1 \)). Ответ: \( y_{min} = -1 \); \( y_{max} = 1 \). г) На полуинтервале \( \left[ -\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right) \): Проверим значения в характерных точках: 1. В точке \( x = 0 \) (внутри промежутка) \( \cos 0 = 1 \) — это максимум. 2. В точке \( x = \pi \) (внутри промежутка) \( \cos \pi = -1 \) — это минимум. 3. На концах: \( \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \); при \( x \to \frac{3\pi}{2} \) значение \( \cos x \to 0 \). Так как точки, где косинус равен \( 1 \) и \( -1 \), входят в данный промежуток, то: Ответ: \( y_{min} = -1 \); \( y_{max} = 1 \).