Решение задачи: КПД наклонной плоскости

Задача 7. Дано: \(m = 10 \, \text{кг}\) — масса груза; \(\alpha = 45^{\circ}\) — угол наклона плоскости; \(\mu = 0,20\) — коэффициент трения. Найти: \(\eta\) — КПД наклонной плоскости. Решение: 1. Коэффициент полезного действия (КПД) наклонной плоскости определяется как отношение полезной работы к полной (затраченной) работе: \[\eta = \frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}} \cdot 100\%\] 2. Полезная работа заключается в подъеме груза на высоту \(h\): \[A_{\text{пол}} = m \cdot g \cdot h\] Если \(L\) — длина наклонной плоскости, то \(h = L \cdot \sin \alpha\). Тогда: \[A_{\text{пол}} = m \cdot g \cdot L \cdot \sin \alpha\] 3. Затраченная работа идет на подъем груза и на преодоление силы трения: \[A_{\text{затр}} = A_{\text{пол}} + A_{\text{тр}}\] Работа силы трения \(F_{\text{тр}}\) на пути \(L\) равна: \[A_{\text{тр}} = F_{\text{тр}} \cdot L\] Сила трения при движении по наклонной плоскости: \[F_{\text{тр}} = \mu \cdot N = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \alpha\] Следовательно: \[A_{\text{тр}} = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \alpha \cdot L\] 4. Подставим выражения для работ в формулу КПД: \[\eta = \frac{m \cdot g \cdot L \cdot \sin \alpha}{m \cdot g \cdot L \cdot \sin \alpha + \mu \cdot m \cdot g \cdot L \cdot \cos \alpha}\] Сократим на \(m \cdot g \cdot L\): \[\eta = \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha + \mu \cdot \cos \alpha}\] 5. Разделим числитель и знаменатель на \(\cos \alpha\), чтобы перейти к тангенсу: \[\eta = \frac{\text{tg} \alpha}{\text{tg} \alpha + \mu}\] 6. Подставим значения (\(\text{tg} 45^{\circ} = 1\)): \[\eta = \frac{1}{1 + 0,20} = \frac{1}{1,2} \approx 0,833\] В процентах: \[\eta \approx 83,3\%\] Округляя до целых, получаем 83%. Ответ: 4) 83%.