Нахождение частных производных функции f(x, y, z) в точке M₀

Задание: Найти частные производные функции \( f(x, y, z) = \ln(\sqrt[5]{x} + \sqrt[4]{y} - z) \) в точке \( M_0(1; 1; 1) \). Решение: Для нахождения частных производных воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции \( (\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u' \). 1) Находим частную производную по \( x \): \[ f'_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[4]{y} - z} \cdot (\sqrt[5]{x} + \sqrt[4]{y} - z)'_x \] Так как \( \sqrt[5]{x} = x^{1/5} \), то \( (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} \). \[ f'_x = \frac{1}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[4]{y} - z} \cdot \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} \] Вычисляем значение в точке \( M_0(1; 1; 1) \): \[ f'_x(M_0) = \frac{1}{\sqrt[5]{1} + \sqrt[4]{1} - 1} \cdot \frac{1}{5\sqrt[5]{1^4}} = \frac{1}{1 + 1 - 1} \cdot \frac{1}{5} = 1 \cdot \frac{1}{5} = 0,2 \] 2) Находим частную производную по \( y \): \[ f'_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[4]{y} - z} \cdot (\sqrt[5]{x} + \sqrt[4]{y} - z)'_y \] Так как \( \sqrt[4]{y} = y^{1/4} \), то \( (y^{1/4})' = \frac{1}{4}y^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{y^3}} \). \[ f'_y = \frac{1}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[4]{y} - z} \cdot \frac{1}{4\sqrt[4]{y^3}} \] Вычисляем значение в точке \( M_0(1; 1; 1) \): \[ f'_y(M_0) = \frac{1}{1 + 1 - 1} \cdot \frac{1}{4\sqrt[4]{1^3}} = 1 \cdot \frac{1}{4} = 0,25 \] 3) Находим частную производную по \( z \): \[ f'_z = \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[4]{y} - z} \cdot (\sqrt[5]{x} + \sqrt[4]{y} - z)'_z \] Производная внутренней функции по \( z \) равна \( -1 \). \[ f'_z = \frac{1}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[4]{y} - z} \cdot (-1) = -\frac{1}{\sqrt[5]{x} + \sqrt[4]{y} - z} \] Вычисляем значение в точке \( M_0(1; 1; 1) \): \[ f'_z(M_0) = -\frac{1}{1 + 1 - 1} = -1 \] Ответ: \[ f'_x(M_0) = 0,2; \quad f'_y(M_0) = 0,25; \quad f'_z(M_0) = -1. \]