Решение задачи: Площади подобных треугольников MOC и KOP

Дано: \( \triangle MOC \), \( \triangle KOP \) \( KO = 15 \) см, \( OP = 12 \) см, \( OM = 5 \) см, \( OC = 4 \) см \( S_{MOC} = S_{KOP} - 8 \) см\( ^2 \) Найти: \( S_{OKR} \) (площадь треугольника \( KOP \)) Решение: 1. Рассмотрим треугольники \( MOC \) и \( KOP \). Углы \( \angle MOC \) и \( \angle KOP \) равны как вертикальные. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этим углам: \[ \frac{OM}{OK} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{OC}{OP} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то \( \triangle MOC \sim \triangle KOP \) по второму признаку подобия. 2. Коэффициент подобия \( k \) равен: \[ k = \frac{OM}{OK} = \frac{1}{3} \] 3. По теореме об отношении площадей подобных треугольников: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия. \[ \frac{S_{MOC}}{S_{KOP}} = k^2 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \] 4. Пусть \( S_{KOP} = x \) см\( ^2 \), тогда \( S_{MOC} = x - 8 \) см\( ^2 \). Составим уравнение: \[ \frac{x - 8}{x} = \frac{1}{9} \] Применим свойство пропорции: \[ 9(x - 8) = x \] \[ 9x - 72 = x \] \[ 9x - x = 72 \] \[ 8x = 72 \] \[ x = 9 \] Ответ: Площадь треугольника \( OKR \) (KOP) равна 9 см\( ^2 \).