Решение задачи по геометрии: подобие треугольников

Ниже представлено решение задачи с картинки (пункт с.14 и дополнительная задача внизу), оформленное для записи в тетрадь. Задача с.14 Дано: \(BO = 4\), \(OC = 5\), \(AO = 15\), \(OD = 12\), \(AD = 21\). Найти: \(BC\) (обозначено как \(x\)). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(AOD\) и \(COB\). Углы \(\angle AOD\) и \(\angle COB\) равны как вертикальные. 2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этим углам: \[ \frac{OC}{OA} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{OB}{OD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] Так как \(\frac{OC}{OA} = \frac{OB}{OD}\), то стороны пропорциональны. 3. Следовательно, \(\triangle AOD \sim \triangle COB\) по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). 4. Из подобия треугольников следует пропорциональность всех сторон: \[ \frac{BC}{AD} = k \], где \(k = \frac{1}{3}\) — коэффициент подобия. \[ \frac{x}{21} = \frac{1}{3} \] \[ x = \frac{21 \cdot 1}{3} = 7 \] Ответ: \(BC = 7\). --- Задача про площади (внизу страницы) Дано: \(KO = 15\) см, \(OP = 12\) см, \(OM = 5\) см, \(OC = 4\) см. \(S_{MOC} = S_{OKR} - 8\) \(см^2\). Найти: \(S_{OKR}\). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(MOC\) и \(KOP\). Углы \(\angle MOC\) и \(\angle KOP\) равны как вертикальные. Проверим отношение сторон: \[ \frac{OC}{OK} = \frac{4}{15} \] \[ \frac{OM}{OP} = \frac{5}{12} \] Отношения не равны. Проверим другие пары сторон: \[ \frac{OC}{OP} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{OM}{OK} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] Так как \(\frac{OC}{OP} = \frac{OM}{OK} = \frac{1}{3}\), то \(\triangle MOC \sim \triangle POK\) по второму признаку подобия. Коэффициент подобия \(k = \frac{1}{3}\). 2. Известно, что площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: \[ \frac{S_{MOC}}{S_{OKR}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \] Отсюда \(S_{OKR} = 9 \cdot S_{MOC}\). 3. По условию \(S_{MOC} = S_{OKR} - 8\). Подставим это выражение: \[ S_{MOC} = 9 \cdot S_{MOC} - 8 \] \[ 8 \cdot S_{MOC} = 8 \] \[ S_{MOC} = 1 \text{ (см}^2) \] 4. Найдем площадь треугольника \(OKR\): \[ S_{OKR} = 9 \cdot 1 = 9 \text{ (см}^2) \] Ответ: \(S_{OKR} = 9\) \(см^2\).