Решение показательных уравнений: примеры и подробное объяснение

Ниже представлено решение первых пяти уравнений из вашего списка в удобном для переписывания виде. Решение уравнений 1) \((0,2)^{3x} \cdot 25^{x-1} = 625^{4x+3}\) Приведем все к основанию 5: \((5^{-1})^{3x} \cdot (5^2)^{x-1} = (5^4)^{4x+3}\) \(5^{-3x} \cdot 5^{2x-2} = 5^{16x+12}\) \(5^{-3x+2x-2} = 5^{16x+12}\) \(-x - 2 = 16x + 12\) \(-17x = 14\) \(x = -\frac{14}{17}\) Ответ: \(-\frac{14}{17}\) 2) \(4^{25-x^2} = 7^{25-x^2}\) Разделим обе части на \(7^{25-x^2}\): \((\frac{4}{7})^{25-x^2} = 1\) Так как \(1 = (\frac{4}{7})^0\), то: \(25 - x^2 = 0\) \(x^2 = 25\) \(x_1 = 5, x_2 = -5\) Ответ: \(-5; 5\) 3) \(2^{3+x} - 2^{x-1} = 960\) Вынесем общий множитель с наименьшим показателем: \(2^{x-1} \cdot (2^4 - 1) = 960\) \(2^{x-1} \cdot (16 - 1) = 960\) \(2^{x-1} \cdot 15 = 960\) \(2^{x-1} = 64\) \(2^{x-1} = 2^6\) \(x - 1 = 6\) \(x = 7\) Ответ: 7 4) \(2^{2x+1} - 3 \cdot 2^x - 2 = 0\) Используем свойства степеней: \(2 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 2 = 0\) Пусть \(2^x = t\), где \(t > 0\): \(2t^2 - 3t - 2 = 0\) \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\) \(t_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2\) \(t_2 = \frac{3 - 5}{4} = -0,5\) (не подходит, так как \(t > 0\)) Вернемся к замене: \(2^x = 2\) \(x = 1\) Ответ: 1 5) \(3 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0\) Это однородное уравнение. Разделим обе части на \(3^{2x}\): \(3 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} - 5 \cdot (\frac{2}{3})^x + 2 = 0\) Пусть \((\frac{2}{3})^x = a\), где \(a > 0\): \(3a^2 - 5a + 2 = 0\) \(D = 25 - 24 = 1\) \(a_1 = \frac{5+1}{6} = 1\) \(a_2 = \frac{5-1}{6} = \frac{2}{3}\) Обратная замена: 1) \((\frac{2}{3})^x = 1 \Rightarrow x_1 = 0\) 2) \((\frac{2}{3})^x = \frac{2}{3} \Rightarrow x_2 = 1\) Ответ: 0; 1