Решение задачи: Найти полную производную du/dt при t=0

Задание: Найти полную производную \( \frac{du}{dt} \) при \( t = t_0 \), если заданы функции: \[ u = \frac{y}{x}, \quad x = e^t, \quad y = 1 - e^{2t}, \quad t_0 = 0 \] Решение: Для нахождения полной производной функции \( u(x, y) \), где \( x \) и \( y \) зависят от \( t \), используется формула: \[ \frac{du}{dt} = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} \] 1) Найдем частные производные функции \( u \) по \( x \) и \( y \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \left( \frac{y}{x} \right)'_x = y \cdot \left( \frac{1}{x} \right)' = -\frac{y}{x^2} \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \left( \frac{y}{x} \right)'_y = \frac{1}{x} \cdot (y)' = \frac{1}{x} \] 2) Найдем производные \( x \) и \( y \) по переменной \( t \): \[ \frac{dx}{dt} = (e^t)' = e^t \] \[ \frac{dy}{dt} = (1 - e^{2t})' = -e^{2t} \cdot 2 = -2e^{2t} \] 3) Подставим всё в формулу полной производной: \[ \frac{du}{dt} = \left( -\frac{y}{x^2} \right) \cdot e^t + \left( \frac{1}{x} \right) \cdot (-2e^{2t}) \] 4) Вычислим значения \( x \) и \( y \) при \( t_0 = 0 \): \[ x(0) = e^0 = 1 \] \[ y(0) = 1 - e^{2 \cdot 0} = 1 - 1 = 0 \] 5) Подставим полученные значения в выражение для производной при \( t = 0 \): \[ \left. \frac{du}{dt} \right|_{t=0} = \left( -\frac{0}{1^2} \right) \cdot e^0 + \left( \frac{1}{1} \right) \cdot (-2e^0) \] \[ \left. \frac{du}{dt} \right|_{t=0} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-2 \cdot 1) = -2 \] Ответ: \[ \frac{du}{dt}(0) = -2 \]