Решение задачи: Частные производные неявной функции в точке M₀(1; 1; 0)

Задание: Найти частные производные \( \frac{\partial z}{\partial x} \) и \( \frac{\partial z}{\partial y} \) функции, заданной неявно уравнением \( e^z + x + 2y + z = 4 \), в точке \( M_0(1; 1; 0) \). Решение: Для нахождения производных неявно заданной функции \( F(x, y, z) = 0 \) используются формулы: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z} \] 1) Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить функцию \( F(x, y, z) \): \[ F(x, y, z) = e^z + x + 2y + z - 4 = 0 \] 2) Найдем частные производные функции \( F \): \[ F'_x = (e^z + x + 2y + z - 4)'_x = 1 \] \[ F'_y = (e^z + x + 2y + z - 4)'_y = 2 \] \[ F'_z = (e^z + x + 2y + z - 4)'_z = e^z + 1 \] 3) Вычислим значения этих производных в точке \( M_0(1; 1; 0) \). Заметим, что здесь \( z = 0 \): \[ F'_x(M_0) = 1 \] \[ F'_y(M_0) = 2 \] \[ F'_z(M_0) = e^0 + 1 = 1 + 1 = 2 \] 4) Находим искомые частные производные в точке \( M_0 \): \[ \frac{\partial z}{\partial x}(M_0) = -\frac{F'_x(M_0)}{F'_z(M_0)} = -\frac{1}{2} = -0,5 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y}(M_0) = -\frac{F'_y(M_0)}{F'_z(M_0)} = -\frac{2}{2} = -1 \] Ответ: \[ \frac{\partial z}{\partial x}(M_0) = -0,5; \quad \frac{\partial z}{\partial y}(M_0) = -1. \]