Решение задачи: x ∂u/∂x + y ∂u/∂y = 0 для u = arcsin(x/(x+y))

Задание: Проверить, удовлетворяет ли функция \( u(x, y) \) заданному уравнению: \[ u = \arcsin \frac{x}{x+y}, \quad x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \] Решение: Для проверки подставим частные производные функции в левую часть уравнения. Воспользуемся формулой производной арксинуса \( (\arcsin v)' = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} \cdot v' \). 1) Найдем частную производную по \( x \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{x+y})^2}} \cdot \left( \frac{x}{x+y} \right)'_x \] Вычислим производную дроби по \( x \): \[ \left( \frac{x}{x+y} \right)'_x = \frac{1 \cdot (x+y) - x \cdot 1}{(x+y)^2} = \frac{y}{(x+y)^2} \] Тогда: \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{\frac{(x+y)^2 - x^2}{(x+y)^2}}} \cdot \frac{y}{(x+y)^2} = \frac{|x+y|}{\sqrt{2xy + y^2}} \cdot \frac{y}{(x+y)^2} \] 2) Найдем частную производную по \( y \): \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{x+y})^2}} \cdot \left( \frac{x}{x+y} \right)'_y \] Вычислим производную дроби по \( y \): \[ \left( \frac{x}{x+y} \right)'_y = x \cdot \left( (x+y)^{-1} \right)' = x \cdot (-1) \cdot (x+y)^{-2} = -\frac{x}{(x+y)^2} \] Тогда: \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{|x+y|}{\sqrt{2xy + y^2}} \cdot \left( -\frac{x}{(x+y)^2} \right) \] 3) Подставим полученные производные в левую часть уравнения \( x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} \): \[ x \cdot \left( \frac{|x+y|}{\sqrt{2xy + y^2}} \cdot \frac{y}{(x+y)^2} \right) + y \cdot \left( -\frac{|x+y|}{\sqrt{2xy + y^2}} \cdot \frac{x}{(x+y)^2} \right) \] Вынесем общий множитель: \[ \frac{|x+y|}{\sqrt{2xy + y^2} \cdot (x+y)^2} \cdot (x \cdot y - y \cdot x) = \frac{|x+y|}{\sqrt{2xy + y^2} \cdot (x+y)^2} \cdot 0 = 0 \] Получено тождество \( 0 = 0 \). Ответ: Функция \( u(x, y) \) удовлетворяет заданному уравнению.