Решение: Уравнение касательной плоскости и нормали

Задание: Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности \( 2x^2 + y^2 + 3z^2 = 6 \) в точке \( M_0(1; -1; 1) \). Решение: Поверхность задана уравнением вида \( F(x, y, z) = 0 \). Пусть \( F(x, y, z) = 2x^2 + y^2 + 3z^2 - 6 \). 1) Найдем частные производные функции \( F \) в произвольной точке: \[ F'_x = (2x^2 + y^2 + 3z^2 - 6)'_x = 4x \] \[ F'_y = (2x^2 + y^2 + 3z^2 - 6)'_y = 2y \] \[ F'_z = (2x^2 + y^2 + 3z^2 - 6)'_z = 6z \] 2) Вычислим значения частных производных в точке \( M_0(1; -1; 1) \): \[ A = F'_x(M_0) = 4 \cdot 1 = 4 \] \[ B = F'_y(M_0) = 2 \cdot (-1) = -2 \] \[ C = F'_z(M_0) = 6 \cdot 1 = 6 \] Эти значения являются координатами вектора нормали к поверхности в данной точке: \( \vec{n} = \{4; -2; 6\} \). 3) Составим уравнение касательной плоскости по формуле: \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \] Подставляем значения: \[ 4(x - 1) - 2(y - (-1)) + 6(z - 1) = 0 \] \[ 4(x - 1) - 2(y + 1) + 6(z - 1) = 0 \] Раскроем скобки и упростим: \[ 4x - 4 - 2y - 2 + 6z - 6 = 0 \] \[ 4x - 2y + 6z - 12 = 0 \] Разделим всё уравнение на 2: \[ 2x - y + 3z - 6 = 0 \] 4) Составим канонические уравнения нормали по формуле: \[ \frac{x - x_0}{A} = \frac{y - y_0}{B} = \frac{z - z_0}{C} \] Подставляем значения: \[ \frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 1}{6} \] Можно сократить знаменатели на 2: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 1}{3} \] Ответ: Уравнение касательной плоскости: \( 2x - y + 3z - 6 = 0 \). Уравнение нормали: \( \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 1}{3} \).