Решение задачи: Найти экстремумы функции z(x, y) = x^3 + 8y^3 - 6xy + 5

Задание: Найти экстремумы функции \( z(x, y) = x^3 + 8y^3 - 6xy + 5 \). Решение: 1) Находим частные производные первого порядка: \[ z'_x = 3x^2 - 6y \] \[ z'_y = 24y^2 - 6x \] 2) Для нахождения критических точек составим и решим систему уравнений \( z'_x = 0, z'_y = 0 \): \[ \begin{cases} 3x^2 - 6y = 0 \\ 24y^2 - 6x = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = \frac{x^2}{2} \\ 4y^2 - x = 0 \end{cases} \] Подставим \( y \) во второе уравнение: \[ 4 \cdot \left( \frac{x^2}{2} \right)^2 - x = 0 \Rightarrow 4 \cdot \frac{x^4}{4} - x = 0 \Rightarrow x^4 - x = 0 \] \[ x(x^3 - 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, \quad x_2 = 1 \] Находим соответствующие значения \( y \): Если \( x_1 = 0 \), то \( y_1 = \frac{0^2}{2} = 0 \). Точка \( P_1(0; 0) \). Если \( x_2 = 1 \), то \( y_2 = \frac{1^2}{2} = 0,5 \). Точка \( P_2(1; 0,5) \). 3) Находим частные производные второго порядка: \[ A = z''_{xx} = 6x, \quad B = z''_{xy} = -6, \quad C = z''_{yy} = 48y \] Вычислим определитель \( \Delta = AC - B^2 \): \[ \Delta = (6x)(48y) - (-6)^2 = 288xy - 36 \] 4) Проверим достаточные условия экстремума в критических точках: Для точки \( P_1(0; 0) \): \[ \Delta(P_1) = 288 \cdot 0 \cdot 0 - 36 = -36 \] Так как \( \Delta < 0 \), то в точке \( P_1 \) экстремума нет (это седловая точка). Для точки \( P_2(1; 0,5) \): \[ \Delta(P_2) = 288 \cdot 1 \cdot 0,5 - 36 = 144 - 36 = 108 \] Так как \( \Delta > 0 \), экстремум существует. Поскольку \( A = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \), то в этой точке наблюдается локальный минимум. 5) Вычислим значение функции в точке минимума: \[ z_{min} = z(1; 0,5) = 1^3 + 8 \cdot (0,5)^3 - 6 \cdot 1 \cdot 0,5 + 5 \] \[ z_{min} = 1 + 8 \cdot 0,125 - 3 + 5 = 1 + 1 - 3 + 5 = 4 \] Ответ: Функция имеет локальный минимум в точке \( (1; 0,5) \), \( z_{min} = 4 \).