Решение задачи: построение эпюр для стального стержня

Контрольная работа №1 Для стального ступенчатого стержня с защемленным концом требуется построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений. Исходные данные: \( l_1 = 1,1 \, м \); \( l_2 = 0,8 \, м \); \( l_3 = 1,2 \, м \); \( F = 12,5 \, см^2 = 12,5 \cdot 10^{-4} \, м^2 \); \( P = 75 \, кН \); \( q = 20 \, кН/м \); \( \sigma_T = 235 \, МПа \); \( E = 2 \cdot 10^5 \, МПа \). Решение: 1. Определение нормальных сил \( N_z \) по участкам. Используем метод сечений, двигаясь от свободного правого конца (точка D) к заделке (точка A). Направим ось z влево. Участок 1 (от D до C, \( 0 \le z_1 \le l_3 \)): Сечение проходит через распределенную нагрузку. \[ N_1(z_1) = 2P + q \cdot z_1 \] При \( z_1 = 0 \) (точка D): \( N_D = 2 \cdot 75 = 150 \, кН \). При \( z_1 = 1,2 \) (точка C): \( N_C^{прав} = 150 + 20 \cdot 1,2 = 174 \, кН \). Участок 2 (от C до \( B_2 \), \( 0 \le z_2 \le l_2/2 \)): \[ N_2(z_2) = 2P + q \cdot l_3 = 174 \, кН \] Участок 3 (от \( B_2 \) до \( B_1 \), \( 0 \le z_3 \le l_2/2 \)): В точке \( B_2 \) приложена сила \( 4P \), направленная влево (растяжение). \[ N_3(z_3) = 174 + 4P = 174 + 4 \cdot 75 = 474 \, кН \] Участок 4 (от \( B_1 \) до A, \( 0 \le z_4 \le l_1 \)): В точке \( B_1 \) приложена сила \( 2P \), направленная вправо (сжатие). \[ N_4(z_4) = 474 - 2P = 474 - 150 = 324 \, кН \] 2. Определение нормальных напряжений \( \sigma \). Формула: \( \sigma = \frac{N}{A} \). Площади сечений: на участках 1 и 2 \( A_{CD} = 2F \), на участках 3 и 4 \( A_{AB} = F \). Участок 1: \( \sigma_D = \frac{150 \cdot 10^3}{2 \cdot 12,5 \cdot 10^{-4}} = 60 \cdot 10^6 \, Па = 60 \, МПа \). \( \sigma_C^{прав} = \frac{174 \cdot 10^3}{25 \cdot 10^{-4}} = 69,6 \, МПа \). Участок 2: \( \sigma_2 = \frac{174 \cdot 10^3}{25 \cdot 10^{-4}} = 69,6 \, МПа \). Участок 3: \( \sigma_3 = \frac{474 \cdot 10^3}{12,5 \cdot 10^{-4}} = 379,2 \, МПа \). Участок 4: \( \sigma_4 = \frac{324 \cdot 10^3}{12,5 \cdot 10^{-4}} = 259,2 \, МПа \). 3. Наибольшее напряжение и коэффициент запаса. \[ \sigma_{max} = 379,2 \, МПа \] Коэффициент запаса по текучести: \[ n_T = \frac{\sigma_T}{\sigma_{max}} = \frac{235}{379,2} \approx 0,62 \] Так как \( n_T < 1 \), условие прочности не выполняется, материал перейдет в состояние текучести. 4. Определение продольных перемещений \( W \). Перемещения считаем от заделки (точка A), где \( W_A = 0 \). \( W_B = W_A + \frac{N_4 \cdot l_1}{E \cdot F} = 0 + \frac{324 \cdot 10^3 \cdot 1,1}{2 \cdot 10^{11} \cdot 12,5 \cdot 10^{-4}} = 0,0014256 \, м \approx 1,43 \, мм \). \( W_{B2} = W_B + \frac{N_3 \cdot (l_2/2)}{E \cdot F} = 1,43 + \frac{474 \cdot 10^3 \cdot 0,4}{2 \cdot 10^{11} \cdot 12,5 \cdot 10^{-4}} \cdot 10^3 = 1,43 + 0,76 = 2,19 \, мм \). \( W_C = W_{B2} + \frac{N_2 \cdot (l_2/2)}{E \cdot 2F} = 2,19 + \frac{174 \cdot 10^3 \cdot 0,4}{2 \cdot 10^{11} \cdot 25 \cdot 10^{-4}} \cdot 10^3 = 2,19 + 0,14 = 2,33 \, мм \). \( W_D = W_C + \int_0^{l_3} \frac{N_1(z) dz}{E \cdot 2F} = 2,33 + \frac{1}{E \cdot 2F} (2P \cdot l_3 + \frac{q \cdot l_3^2}{2}) \) \( W_D = 2,33 + \frac{150 \cdot 1,2 + 20 \cdot 1,2^2 / 2}{2 \cdot 10^8 \cdot 25 \cdot 10^{-4}} \cdot 10^3 = 2,33 + 0,39 = 2,72 \, мм \). Для оформления в тетради следует начертить стержень и под ним три эпюры: \( N_z \) (ступенчатая с наклонным участком на \( l_3 \)), \( \sigma \) (ступенчатая) и \( W \) (ломаная линия с параболическим участком на \( l_3 \)).