Решение задачи 55 по геометрии

Задача 55. Дано: \(ABCD\) — квадрат, \(AD \in \alpha\), \(CM \perp \alpha\), \(\angle CAM = 60^\circ\), \(S_{ABCD} = 4\). Найти: \(CM\). Решение: 1. Так как \(ABCD\) — квадрат и его площадь \(S = 4\), найдем длину его стороны \(a\): \[S = a^2 \Rightarrow a = \sqrt{4} = 2\] Следовательно, \(AB = BC = CD = AD = 2\). 2. Найдем диагональ квадрата \(AC\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(ABC\): \[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] 3. Рассмотрим треугольник \(AMC\). По условию \(CM \perp \alpha\). Так как точка \(A\) лежит на прямой \(AD\), которая принадлежит плоскости \(\alpha\), то \(A \in \alpha\). Отрезок \(AM\) лежит в плоскости \(\alpha\), следовательно, \(CM \perp AM\). Значит, треугольник \(AMC\) — прямоугольный (\(\angle AMC = 90^\circ\)). 4. В прямоугольном треугольнике \(AMC\) нам известна гипотенуза \(AC = 2\sqrt{2}\) и угол \(\angle CAM = 60^\circ\). Чтобы найти катет \(CM\), воспользуемся определением синуса: \[\sin(\angle CAM) = \frac{CM}{AC}\] Отсюда выражаем \(CM\): \[CM = AC \cdot \sin(60^\circ)\] 5. Подставляем значения: \[CM = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}\] Ответ: \(CM = \sqrt{6}\).