Контрольная работа «Квадратные уравнения», Вариант 1: Решение

Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 1 Задание 1. Решите уравнение: а) \( 4x^2 + 12x = 0 \) Вынесем общий множитель \( 4x \) за скобки: \( 4x(x + 3) = 0 \) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \( 4x = 0 \) или \( x + 3 = 0 \) \( x_1 = 0 \); \( x_2 = -3 \) Ответ: -3; 0. б) \( 4x^2 - 25 = 0 \) Перенесем число в правую часть: \( 4x^2 = 25 \) \( x^2 = \frac{25}{4} \) \( x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \) \( x_1 = 2,5 \); \( x_2 = -2,5 \) Ответ: -2,5; 2,5. Задание 2. Решите уравнение: а) \( x^2 - 9x + 8 = 0 \) Воспользуемся теоремой Виета: \( x_1 + x_2 = 9 \) \( x_1 \cdot x_2 = 8 \) Методом подбора находим корни: \( x_1 = 1 \); \( x_2 = 8 \) Ответ: 1; 8. б) \( 2x^2 + 4x + 3 = 0 \) Найдем дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \): \( D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 16 - 24 = -8 \) Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. Задание 3. Решите уравнение: \( (3x + 1)^2 - 4 = 0 \) Разложим как разность квадратов: \( (3x + 1 - 2)(3x + 1 + 2) = 0 \) \( (3x - 1)(3x + 3) = 0 \) 1) \( 3x - 1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{3} \) 2) \( 3x + 3 = 0 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x_2 = -1 \) Ответ: -1; \( \frac{1}{3} \). Задание 4. Пусть \( x \) — первое натуральное число, тогда \( (x + 6) \) — второе число. По условию их произведение равно 187: \( x(x + 6) = 187 \) \( x^2 + 6x - 187 = 0 \) \( D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-187) = 36 + 748 = 784 = 28^2 \) \( x = \frac{-6 \pm 28}{2} \) \( x_1 = \frac{22}{2} = 11 \) \( x_2 = \frac{-34}{2} = -17 \) (не подходит, так как число должно быть натуральным) Первое число: 11. Второе число: \( 11 + 6 = 17 \). Ответ: 11 и 17. Задание 5. Дано уравнение \( x^2 + 11x + a = 0 \) и корень \( x_1 = 3 \). Подставим известный корень в уравнение, чтобы найти \( a \): \( 3^2 + 11 \cdot 3 + a = 0 \) \( 9 + 33 + a = 0 \) \( 42 + a = 0 \) \( a = -42 \) По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -11 \) \( 3 + x_2 = -11 \) \( x_2 = -11 - 3 \) \( x_2 = -14 \) Ответ: \( x_2 = -14 \); \( a = -42 \).