Задача 58: Решение задачи о ромбе с углом 60 градусов

Задача 58. Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle BAD = 60^{\circ}\), \(OE \perp (ABC)\), \(OM \perp DC\), \(\angle OME = 45^{\circ}\). Найти: \(\text{tg} \angle 1\). Решение: 1. Рассмотрим ромб \(ABCD\). Точка \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Так как \(\angle BAD = 60^{\circ}\), то \(\angle OAD = 30^{\circ}\). В прямоугольном треугольнике \(AOD\) (\(\angle AOD = 90^{\circ}\)): Пусть \(OD = a\). Тогда \(AD = \frac{OD}{\sin 30^{\circ}} = \frac{a}{1/2} = 2a\). \(AO = AD \cdot \cos 30^{\circ} = 2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\). Следовательно, \(OC = AO = a\sqrt{3}\). 2. Рассмотрим треугольник \(DOC\). Это прямоугольный треугольник (\(\angle DOC = 90^{\circ}\)). \(OM\) — высота, проведенная к гипотенузе \(DC\). Найдем гипотенузу \(DC\): \[DC = AD = 2a\] Площадь треугольника \(DOC\): \[S = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\] Также площадь равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot OM \Rightarrow \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot OM\] Отсюда \(OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(EOM\) (\(\angle EOM = 90^{\circ}\), так как \(OE \perp (ABC)\)). По условию \(\angle OME = 45^{\circ}\), значит треугольник \(EOM\) — равнобедренный. \[OE = OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] 4. Угол 1 — это \(\angle ECO\) в прямоугольном треугольнике \(EOC\) (\(\angle EOC = 90^{\circ}\)). По определению тангенса: \[\text{tg} \angle 1 = \frac{OE}{OC}\] Подставим найденные значения: \[\text{tg} \angle 1 = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{2 \cdot a\sqrt{3}} = \frac{1}{2} = 0,5\] Ответ: 0,5.