Решение задачи 60: Найти синус угла в ромбе

Задача 60. Дано: \(ABCD\) — ромб, \(AD \in \alpha\), \(CM \perp \alpha\), \(\angle CDM = 45^{\circ}\), \(BD = AD\). Найти: \(\sin \angle 1\). Решение: 1. Рассмотрим ромб \(ABCD\). По условию \(BD = AD\). Так как у ромба все стороны равны (\(AB=BC=CD=AD\)), то в треугольнике \(ABD\) все стороны равны: \(AB = BD = AD\). Следовательно, \(\triangle ABD\) — равносторонний, и \(\angle BAD = 60^{\circ}\). Тогда угол ромба \(\angle ADC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\). 2. Найдем длину диагонали \(AC\). В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения \(O\) делятся пополам. В прямоугольном треугольнике \(AOD\): \(\angle OAD = 30^{\circ}\) (половина угла \(BAD\)). Пусть сторона ромба \(AD = a\). Тогда \(AO = AD \cdot \cos 30^{\circ} = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\). Следовательно, вся диагональ \(AC = 2 \cdot AO = a\sqrt{3}\). 3. Рассмотрим треугольник \(CDM\). Так как \(CM \perp \alpha\), а прямая \(DM\) лежит в плоскости \(\alpha\), то \(\angle CMD = 90^{\circ}\). Треугольник \(CDM\) — прямоугольный. По условию \(\angle CDM = 45^{\circ}\), значит он еще и равнобедренный. Гипотенуза \(CD = AD = a\). Найдем катет \(CM\): \[CM = CD \cdot \sin 45^{\circ} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] 4. Угол 1 — это \(\angle CAM\) в прямоугольном треугольнике \(CAM\) (\(\angle CMA = 90^{\circ}\), так как \(CM \perp \alpha\), а \(AM\) лежит в плоскости \(\alpha\)). По определению синуса: \[\sin \angle 1 = \frac{CM}{AC}\] Подставим значения: \[\sin \angle 1 = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\] Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[\sin \angle 1 = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{6}}{6}\] Ответ: \(\frac{\sqrt{6}}{6}\).