Решение тригонометрических неравенств: sin(t) ≥ 1/2, sin(t) < 0.4

Решение тригонометрических неравенств 1) \(\sin t \geqslant \frac{1}{2}\) По определению синуса на единичной окружности, нам нужны точки, ордината которых не меньше \(\frac{1}{2}\). \[ \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k \leqslant t \leqslant \pi - \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k \] \[ \frac{\pi}{6} + 2\pi k \leqslant t \leqslant \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \(t \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}\). 2) \(\sin t < 0,4\) Так как \(0,4\) не является табличным значением, используем арксинус. \[ -\pi - \arcsin 0,4 + 2\pi k < t < \arcsin 0,4 + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \(t \in (-\pi - \arcsin 0,4 + 2\pi k; \arcsin 0,4 + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}\). 3) \(2\sin(-2t) < \sqrt{3}\) Используем нечетность синуса: \(\sin(-x) = -\sin x\). \[ -2\sin(2t) < \sqrt{3} \] Разделим на \(-2\), при этом знак неравенства меняется: \[ \sin(2t) > -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Пусть \(2t = x\), тогда \(\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}\). \[ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \] Разделим все части на 2: \[ -\frac{\pi}{6} + \pi k < t < \frac{2\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \(t \in (-\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{2\pi}{3} + \pi k), k \in \mathbb{Z}\). 4) \(\cos 3t > \frac{1}{3}\) Используем арккосинус: \[ -\arccos \frac{1}{3} + 2\pi k < 3t < \arccos \frac{1}{3} + 2\pi k \] Разделим на 3: \[ -\frac{1}{3}\arccos \frac{1}{3} + \frac{2\pi k}{3} < t < \frac{1}{3}\arccos \frac{1}{3} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \(t \in (-\frac{1}{3}\arccos \frac{1}{3} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{1}{3}\arccos \frac{1}{3} + \frac{2\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z}\). 5) \(\sqrt{3} \text{tg}(3t - \frac{\pi}{4}) < 1\) Разделим на \(\sqrt{3}\): \[ \text{tg}(3t - \frac{\pi}{4}) < \frac{1}{\sqrt{3}} \] Учитывая область определения тангенса и его периодичность: \[ -\frac{\pi}{2} + \pi k < 3t - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{6} + \pi k \] Прибавим \(\frac{\pi}{4}\) ко всем частям: \[ -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k < 3t < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi k \] \[ -\frac{\pi}{4} + \pi k < 3t < \frac{5\pi}{12} + \pi k \] Разделим на 3: \[ -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} < t < \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \(t \in (-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}; \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z}\).