Решение:

Самостоятельная работа по геометрии. Вариант №1. Задание 1. А) Для выполнения этого задания в тетради выберите три произвольных вектора \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), которые не параллельны друг другу. 1. Чтобы построить \(\vec{a} + \vec{c}\), используйте правило треугольника: отложите вектор \(\vec{c}\) от конца вектора \(\vec{a}\). Результатом будет вектор, соединяющий начало \(\vec{a}\) с концом \(\vec{c}\). 2. Чтобы построить \(3\vec{a} - \vec{c}\), начертите вектор в 3 раза длиннее \(\vec{a}\) в том же направлении, а затем от его конца отложите вектор \(\vec{c}\) в противоположную сторону. 3. Чтобы построить \(-2\vec{a} + \vec{b}\), начертите вектор в 2 раза длиннее \(\vec{a}\), но направленный в противоположную сторону, и прибавьте к нему вектор \(\vec{b}\). Б) Нахождение длин векторов по рисунку (измеряется линейкой в тетради, здесь приведен принцип): Длина вектора обозначается как \(|\vec{a}|\). Если принять одну клетку за единицу измерения, то: 1. Для вектора \(\vec{a}\) (смещение влево на 1, вверх на 3): \(|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}\). 2. Для вектора \(\vec{b}\) (смещение вправо на 2): \(|\vec{b}| = 2\). 3. Для вектора \(\vec{c}\) (смещение влево на 3, вниз на 2): \(|\vec{c}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}\). 4. Для нахождения длины суммы \(\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}\) нужно сложить их координаты: \[ \vec{R} = (-1; 3) + 2 \cdot (2; 0) + (-3; -2) = (-1+4-3; 3+0-2) = (0; 1) \] Длина результирующего вектора: \(|\vec{R}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1\). Задание 2. Коллинеарные векторы — это ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть сонаправленными \(\uparrow \uparrow\) или противоположно направленными \(\uparrow \downarrow\). Задание 3. Правила сложения векторов: 1. Правило треугольника: чтобы сложить два вектора, нужно от конца первого отложить второй. Суммой будет вектор, идущий из начала первого в конец второго. 2. Правило параллелограмма: чтобы сложить два вектора, имеющих общее начало, нужно достроить их до параллелограмма. Суммой будет диагональ параллелограмма, выходящая из их общего начала. Задание 4. В прямоугольной трапеции \(ABCH\) векторами являются направленные отрезки, образующие её стороны и диагонали: Стороны: \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\), \(\vec{CH}\), \(\vec{HA}\) (и им противоположные \(\vec{BA}\), \(\vec{CB}\), \(\vec{HC}\), \(\vec{AH}\)). Диагонали: \(\vec{AC}\), \(\vec{BH}\) (и им противоположные \(\vec{CA}\), \(\vec{HB}\)).