Решение задачи 9: Определение начальной скорости v0

Решение задач 9 и 10. Задача 9. Дано: \( \Delta t = 3,5 \) с \( g = 10 \) м/с\(^2\) По рисунку 2 определим тангенс угла \( \alpha \). Найти: \( v_0 \) — ? Решение: 1) Из рисунка видно, что наклонная плоскость проходит через узлы сетки. Если отсчитать от точки броска, то точка удара находится на 4 клетки ниже и на 6 клеток правее. Следовательно, тангенс угла наклона плоскости: \[ \text{tg } \alpha = \frac{h}{L} = \frac{4 \text{ клетки}}{6 \text{ клеток}} = \frac{2}{3} \] 2) Запишем уравнения движения тела по осям: По горизонтали: \( L = v_0 \Delta t \) По вертикали: \( h = \frac{g \Delta t^2}{2} \) 3) Подставим эти выражения в формулу тангенса: \[ \text{tg } \alpha = \frac{h}{L} = \frac{g \Delta t^2 / 2}{v_0 \Delta t} = \frac{g \Delta t}{2 v_0} \] 4) Выразим начальную скорость \( v_0 \): \[ v_0 = \frac{g \Delta t}{2 \cdot \text{tg } \alpha} \] \[ v_0 = \frac{10 \cdot 3,5}{2 \cdot (2/3)} = \frac{35}{4/3} = \frac{35 \cdot 3}{4} = \frac{105}{4} = 26,25 \text{ м/с} \] Ответ: 26,25 м/с. Задача 10. Дано: \( \Delta t = 1,0 \) с \( \varepsilon = 30\% = 0,3 \) \( g = 10 \) м/с\(^2\) Найти: \( \Delta r \) — ? Решение: 1) При горизонтальном броске скорость в любой момент времени \( t \) равна: \[ v = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2} \] В начальный момент \( t = 0 \), скорость \( v_{нач} = v_0 \). Через время \( \Delta t \) скорость стала \( v_{кон} = v_0(1 + \varepsilon) \). 2) Составим уравнение: \[ v_0(1 + \varepsilon) = \sqrt{v_0^2 + (g \Delta t)^2} \] Возведем в квадрат: \[ v_0^2 (1 + \varepsilon)^2 = v_0^2 + (g \Delta t)^2 \] \[ v_0^2 (1 + 2\varepsilon + \varepsilon^2) - v_0^2 = (g \Delta t)^2 \] \[ v_0^2 (2\varepsilon + \varepsilon^2) = (g \Delta t)^2 \] \[ v_0 = \frac{g \Delta t}{\sqrt{2\varepsilon + \varepsilon^2}} \] Подставим числа: \[ v_0 = \frac{10 \cdot 1}{\sqrt{2 \cdot 0,3 + 0,3^2}} = \frac{10}{\sqrt{0,6 + 0,09}} = \frac{10}{\sqrt{0,69}} \approx \frac{10}{0,83} \approx 12,05 \text{ м/с} \] 3) Модуль перемещения \( \Delta r \) — это расстояние между начальной и конечной точками: \[ \Delta r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(v_0 \Delta t)^2 + \left(\frac{g \Delta t^2}{2}\right)^2} \] \[ \Delta r = \sqrt{(12,05 \cdot 1)^2 + \left(\frac{10 \cdot 1^2}{2}\right)^2} = \sqrt{145,2 + 25} = \sqrt{170,2} \approx 13,05 \text{ м} \] Ответ: 13,05 м.