Решение контрольной работы: Декартовы координаты (9 класс)

Решение контрольной работы по теме Декартовы координаты на плоскости (9 класс). Вариант 1 Задача 1. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин A(1; 1), B(3; 5), C(9; -1), D(7; 5). Докажите, что ABCD — параллелограмм. Найдите его диагонали. Решение: 1. Чтобы доказать, что ABCD — параллелограмм, проверим, совпадают ли середины его диагоналей AC и BD. Координаты середины отрезка находятся по формулам: \[ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}, y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2} \] Для диагонали AC: \[ x_{AC} = \frac{1 + 9}{2} = 5; y_{AC} = \frac{1 - 1}{2} = 0 \] Точка пересечения диагонали AC: O(5; 0). Для диагонали BD: \[ x_{BD} = \frac{3 + 7}{2} = 5; y_{BD} = \frac{5 + 5}{2} = 5 \] Середины не совпадают (ошибка в условии задачи в координатах точки D, вероятно D(7; -5)). Если D(7; -5), то: \[ x_{BD} = \frac{3 + 7}{2} = 5; y_{BD} = \frac{5 - 5}{2} = 0 \] Тогда середины совпадают в точке O(5; 0), значит ABCD — параллелограмм. 2. Найдем длины диагоналей по формуле расстояния между точками: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Диагональ AC: \[ AC = \sqrt{(9 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \] Диагональ BD (при D(7; -5)): \[ BD = \sqrt{(7 - 3)^2 + (-5 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-10)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29} \] Ответ: AC = \( 2\sqrt{17} \), BD = \( 2\sqrt{29} \). Задача 2. В треугольнике MNK проведена высота NO, угол NMO = 45 градусов, NO = 6, OK = 4. Найдите длину медианы, проведенной из вершины M. Решение: 1. Введем систему координат. Пусть O — начало координат (0; 0). Так как NO — высота, точка N лежит на оси Oy: N(0; 6). Точка K лежит на оси Ox: K(4; 0). 2. В треугольнике MNO (прямоугольный): угол M = 45 градусов, значит он равнобедренный (MO = NO = 6). Точка M лежит на оси Ox слева от O: M(-6; 0). 3. Найдем координаты середины стороны NK (точка P): \[ x_P = \frac{0 + 4}{2} = 2; y_P = \frac{6 + 0}{2} = 3 \] P(2; 3). 4. Найдем длину медианы MP: \[ MP = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \] Ответ: \( \sqrt{73} \). Задача 3. Напишите уравнение окружности, если отрезок MN является ее диаметром, M(2; 0) и N(-4; 8). Решение: 1. Центр окружности C(x; y) — середина диаметра MN: \[ x_C = \frac{2 + (-4)}{2} = -1; y_C = \frac{0 + 8}{2} = 4 \] C(-1; 4). 2. Найдем квадрат радиуса \( R^2 \) (расстояние от C до M): \[ R^2 = (2 - (-1))^2 + (0 - 4)^2 = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25 \] 3. Уравнение окружности: \[ (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = R^2 \] \[ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25 \] Ответ: \( (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25 \). Задача 4. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки A(1; 3) и B(-2; -3). Решение: Уравнение прямой: \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \) \[ \frac{x - 1}{-2 - 1} = \frac{y - 3}{-3 - 3} \] \[ \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 3}{-6} \] Умножим обе части на -6: \[ 2(x - 1) = y - 3 \] \[ 2x - 2 = y - 3 \] \[ y = 2x + 1 \] Ответ: \( y = 2x + 1 \).