Решение задач по геометрии. Вариант 2

Вариант 2 Задача 1. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle BAC = 82^\circ \), \( AD \) — биссектриса. Найти: \( \angle BAD \). Решение: Так как \( AD \) — биссектриса угла \( BAC \), она делит его пополам. \[ \angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{82^\circ}{2} = 41^\circ \] Ответ: \( 41^\circ \). Задача 2. Дано: \( \triangle ABC \), \( BM \) — медиана, \( AC = 16 \), \( BM = 12 \). Найти: \( AM \). Решение: Медиана \( BM \) делит сторону \( AC \) пополам, значит \( M \) — середина \( AC \). \[ AM = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] Ответ: 8. Задача 3. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( M \) — середина \( AB \), \( AB = 42 \), \( AC = 30 \). Найти: \( CM \). Решение: В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. \[ CM = \frac{AB}{2} = \frac{42}{2} = 21 \] Ответ: 21. Задача 4. Дано: \( \triangle ABC \), \( BH \) — высота, \( \angle BAC = 46^\circ \). Найти: \( \angle ABH \). Решение: Рассмотрим прямоугольный \( \triangle ABH \) (\( \angle AHB = 90^\circ \)). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^\circ \). \[ \angle ABH = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 46^\circ = 44^\circ \] Ответ: \( 44^\circ \). Задача 5. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( AC = 22 \), \( \angle A = 60^\circ \). Найти: \( BC \). Решение: 1) Найдем \( \angle B \): \( \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \). 2) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^\circ \), равен половине гипотенузы. Значит, \( AC = \frac{AB}{2} \), отсюда \( AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 22 = 44 \). 3) По теореме Пифагора: \( BC^2 = AB^2 - AC^2 = 44^2 - 22^2 = (44-22)(44+22) = 22 \cdot 66 = 22 \cdot 22 \cdot 3 \). \[ BC = \sqrt{22^2 \cdot 3} = 22\sqrt{3} \] Ответ: \( 22\sqrt{3} \). Задача 6. Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = BC \), \( \angle BAC = 15^\circ \). Найти: \( \angle ABC \). Решение: Треугольник равнобедренный, углы при основании равны: \( \angle C = \angle BAC = 15^\circ \). Сумма углов треугольника \( 180^\circ \). \[ \angle ABC = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \] Ответ: \( 150^\circ \). Задача 7. По какому признаку равны треугольники на рис. 7? Решение: На рисунке 7 изображены два треугольника, у которых равны две стороны и угол между ними (вертикальные углы равны). Ответ: По первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Задача 8. По какому признаку равны прямоугольные треугольники на рис. 8? Решение: На рисунке 8 у прямоугольных треугольников равны гипотенузы и по одному катету. Ответ: По гипотенузе и катету. Задача 9. Выберите верные утверждения: 1) Если три угла одного треугольника равны трем углам другого, то такие треугольники равны. (Неверно, это признак подобия). 2) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов. (Верно, согласно неравенству треугольника). 3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. (Верно, по свойству прямоугольного треугольника). Ответ: 2, 3.