Решение дифференциального уравнения y'' - 2y' - 6y = x^3 - 2

Решение дифференциального уравнения: \[ y'' - 2y' - 6y = x^3 - 2 \] Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение ищется в виде \( y = y_{оо} + y_{чн} \), где \( y_{оо} \) — общее решение однородного уравнения, а \( y_{чн} \) — частное решение неоднородного. 1. Найдем общее решение однородного уравнения: \[ y'' - 2y' - 6y = 0 \] Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - 2k - 6 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28 \] Корни уравнения: \[ k_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 1 \pm \sqrt{7} \] Тогда общее решение однородного уравнения: \[ y_{оо} = C_1 e^{(1+\sqrt{7})x} + C_2 e^{(1-\sqrt{7})x} \] 2. Найдем частное решение неоднородного уравнения. Так как правая часть \( f(x) = x^3 - 2 \) представляет собой многочлен третьей степени, а число 0 не является корнем характеристического уравнения, частное решение ищем в виде: \[ y_{чн} = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \] Найдем производные: \[ y'_{чн} = 3Ax^2 + 2Bx + C \] \[ y''_{чн} = 6Ax + 2B \] Подставим их в исходное уравнение: \[ (6Ax + 2B) - 2(3Ax^2 + 2Bx + C) - 6(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) = x^3 - 2 \] Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при степенях \( x \): \[ -6Ax^3 + (-6A - 6B)x^2 + (6A - 4B - 6C)x + (2B - 2C - 6D) = x^3 - 2 \] Составим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \( x \): При \( x^3 \): \( -6A = 1 \Rightarrow A = -\frac{1}{6} \) При \( x^2 \): \( -6A - 6B = 0 \Rightarrow B = -A = \frac{1}{6} \) При \( x^1 \): \( 6A - 4B - 6C = 0 \Rightarrow 6(-\frac{1}{6}) - 4(\frac{1}{6}) - 6C = 0 \Rightarrow -1 - \frac{2}{3} = 6C \Rightarrow C = -\frac{5}{18} \) При \( x^0 \): \( 2B - 2C - 6D = -2 \Rightarrow 2(\frac{1}{6}) - 2(-\frac{5}{18}) - 6D = -2 \Rightarrow \frac{1}{3} + \frac{5}{9} + 2 = 6D \Rightarrow \frac{3+5+18}{9} = 6D \Rightarrow D = \frac{26}{54} = \frac{13}{27} \) Частное решение: \[ y_{чн} = -\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{6}x^2 - \frac{5}{18}x + \frac{13}{27} \] 3. Запишем общий ответ: \[ y = C_1 e^{(1+\sqrt{7})x} + C_2 e^{(1-\sqrt{7})x} - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{6}x^2 - \frac{5}{18}x + \frac{13}{27} \]