Решение задачи: год рождения А.А. Маркова

Задание 1. Для определения года рождения выдающегося русского математика А. А. Маркова вычислим значение выражения: \[ \left( (3\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8})^2 - 11\sqrt{2} \right) \cdot \left( \frac{4}{\sqrt{3}} \right)^2 \cdot 29 \] 1) Раскроем квадрат суммы в скобках по формуле \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \): \[ (3\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8})^2 = (3\sqrt[4]{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} + (\sqrt[4]{8})^2 \] \[ = 9\sqrt{2} + 6\sqrt[4]{16} + \sqrt{8} = 9\sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 2\sqrt{2} = 11\sqrt{2} + 12 \] 2) Подставим полученный результат в первую часть выражения: \[ (11\sqrt{2} + 12 - 11\sqrt{2}) = 12 \] 3) Вычислим оставшуюся часть: \[ 12 \cdot \left( \frac{4}{\sqrt{3}} \right)^2 \cdot 29 = 12 \cdot \frac{16}{3} \cdot 29 = 4 \cdot 16 \cdot 29 = 64 \cdot 29 = 1856 \] Ответ: Андрей Андреевич Марков родился в 1856 году. Задание 2. Найдем область определения функции: \[ y = \sqrt{\frac{6-x-x^2}{x+2}} \] Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не равен нулю: \[ \frac{6-x-x^2}{x+2} \ge 0 \] 1) Найдем корни числителя \( -x^2 - x + 6 = 0 \): \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 6 = 1 + 24 = 25 \] \[ x_1 = \frac{1+5}{-2} = -3; \quad x_2 = \frac{1-5}{-2} = 2 \] Числитель можно разложить: \( -(x+3)(x-2) \). 2) Решим неравенство методом интервалов для \( \frac{-(x+3)(x-2)}{x+2} \ge 0 \), что эквивалентно \( \frac{(x+3)(x-2)}{x+2} \le 0 \): Точки: \( x = -3 \), \( x = 2 \) (закрашенные), \( x = -2 \) (выколотая). Интервалы: \( (-\infty; -3] \cup (-2; 2] \). Ответ: \( D(y) = (-\infty; -3] \cup (-2; 2] \). Задание 3. Определим последнюю цифру суммы \( 9^{2025} + 9^{2026} \). 1) Степени девятки оканчиваются на: \( 9^1 = 9 \) \( 9^2 = 81 \) (оканчивается на 1) \( 9^3 = 729 \) (оканчивается на 9) Если показатель нечетный, число оканчивается на 9. Если четный — на 1. 2) \( 2025 \) — нечетное число, значит \( 9^{2025} \) оканчивается на 9. 3) \( 2026 \) — четное число, значит \( 9^{2026} \) оканчивается на 1. 4) Сумма последних цифр: \( 9 + 1 = 10 \). Значит, сумма оканчивается на 0. Ответ: 0. Задание 4. Найдем площадь треугольника с вершинами \( A(3; 6) \), \( B(-5; 3) \), \( C(3; -1) \). Заметим, что точки \( A \) и \( C \) лежат на одной вертикальной прямой \( x = 3 \). 1) Длина основания \( AC \): \[ AC = |y_A - y_C| = |6 - (-1)| = 7 \] 2) Высота \( h \), проведенная из точки \( B \) к прямой \( AC \), равна разности абсцисс: \[ h = |x_A - x_B| = |3 - (-5)| = 8 \] 3) Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 = 28 \] Ответ: 28. Задание 5. Дана функция \( f(x) = 1 + \sqrt{x} \). Область определения \( x \ge 0 \). а) \( f(x) = x \) \[ 1 + \sqrt{x} = x \] Пусть \( \sqrt{x} = t \), где \( t \ge 0 \). Тогда \( 1 + t = t^2 \), или \( t^2 - t - 1 = 0 \). \[ D = 1 + 4 = 5; \quad t = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \text{ (корень } \frac{1-\sqrt{5}}{2} < 0 \text{ не подходит)} \] \[ \sqrt{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x = \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \] б) \( f(f(x)) = x \) \[ 1 + \sqrt{1 + \sqrt{x}} = x \] Так как функция \( f(x) = 1 + \sqrt{x} \) является монотонно возрастающей, то уравнение \( f(f(x)) = x \) на области определения имеет те же корни, что и \( f(x) = x \). Проверим: если \( f(x) = x \), то подставляя \( x \) вместо \( f(x) \), получаем \( f(x) = x \), что верно. Ответ: а) \( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \); б) \( \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \).